A propos des hyperboles

Voici une amusante propriété des hyperboles que je vous propose à titre d’exercice.

hyperbole_1

Soient des points A, B et P d’une hyperbole H. La parallèle à AP menée par B coupe H en Q. La parallèle à BP menée par Q coupe H en C. La parallèle à AP menée par C coupe H en R. Enfin, la parallèle à BP menée par R coupe H en D. Montrer que les points C et D sont indépendants de P et que AD est parallèle à BC.

Voici une autre illustration de cette propriété. Cette fois, A et B sont sur la même branche de l’hyperbole.

hyperbole_2

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2 réactions sur “A propos des hyperboles

  1. Puisque les transformations affines du plan envoient des hyperboles sur des hyperboles et des droites parallèles sur des droites parallèles on peut supposer que l’hyperbole en question a pour équation xy = 1 avec le système de coordonnées canonique de R^2.

    Notons les points sur l’hyperbole avec des majuscules et leurs abscisses avec la minuscule correspondante, de sorte que A=(a,1/a), B=(b,1/b), etc.
    La condition de parallélisme (AP)||(BQ) se traduit alors en l’équation
    (a-p)(1/b-1/q) = (b-q)(1/a-1/p), ce qui devient, après simplification :

    ap = bq.

    De même (BP)||(QC) et (AP)||(CR) et (BP)||(RD) signifient

    bp = qc, ap = cr, bp = rd.

    Ainsi (ad)(pr) = (ap)(rd) = (cr)(bp) = (bc)(pr), d’où ad = bc ce qui signifie que (AD)||(BC).

    Enfin, 1/q =b/(ap) et c = bp/q = b²/a. De même on trouve d = bc/a. Autrement dit les points C, puis D, ne dépendent que de A et B.

    • Voilà, c’est très bien. Je ne fais pas autrement.
      A la lumière du billet précédent, on voit un peu d’où vient la propriété. Elle reste cependant étonnante pour moi.
      Avec les autres formes canoniques des coniques, on l’étend aux autres genres de coniques. Comme signalé dans le billet précédent, le rapport s entre \overrightarrow{AD} et \overrightarrow{BC} est constant (pour A,B donnés). De façon frappante, pour une parabole, il est toujours égal à 3. 🙂

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