Sur les affinités préservant une conique

Dans un plan affine \alpha, la réflexion par rapport à une droite \mathcal D parallèlement à une direction u consiste à associer à tout point X l’unique point X' défini par les conditions : XX' est parallèle à u; le milieu de [X,X'] est sur \mathcal D.

Lorsque \mathcal D est le diamètre conjugué à u par rapport à une conique \mathcal C de \alpha, nous dirons que la réflexion est diamétrale. Elle préserve alors la conique(*) et sa restriction à celle-ci associe à tout point l’autre extrémité de la corde parallèle à u qui en est issue. Ceci est représenté à propos d’une ellipse sur le dessin suivant :

symetrie

Dans le cas d’une parabole, u étant la direction d’une tangente en un point, le diamètre conjugué est la parallèle à la direction asymptotique de la parabole passant par ce point, comme illustré sur cette figure :

sympara

Le déterminant d’une réflexion(**) vaut -1. Celui de la composée de deux réflexions vaut donc 1. En fait

Toute affinité \mathcal T de déterminant égal à 1 de \alpha qui préserve \mathcal C est la composée deux réflexions diamétrales dont l’une peut être choisie arbitrairement. En particulier, \mathcal T est complètement déterminé par un point de \mathcal C et son image.

Je ne vais pas démontrer cela ici ce qui, du reste, n’est pas bien difficile à faire. Je vais plutôt illustrer ce résultat sur un exemple. La construction présentée s’applique aux trois genres de coniques.

parabole

La figure ci-dessus représente une parabole. On en a pris arbitrairement des points A, A' et détaillé comment construire l’image X' d’un point X sous l’action de l’unique affinité \mathcal T de déterminant 1 qui préserve la parabole et applique A sur A'. On la décompose en deux réflexions diamétrales en choisissant, arbitrairement, un point P de la parabole. Il détermine les deux directions AP et A'P parallèlement auxquelles se font les deux réflexions : la parallèle à AP menée par X rencontre la parabole en un point et la parallèle à A'P menée par celui-ci la rencontre en l’image X'=\mathcal T(X).

Le groupe des affinités de \alpha qui préservent une conique à centre est engendré par les réflexions diamétrales. Pour une ellipse, il est isomorphe au groupe orthogonal O(2). Pour une hyperbole, c’est le groupe O(1,1). Dans les deux cas, le déterminant d’une affinité préservant la conique est donc \pm 1.

Le groupe des affinités de \alpha préservant une parabole est isomorphe au groupe des transformations affines de \mathbb R. Il est engendré par des « translations » et des « homothéties ». J’expliquerai plus tard comment on peut les construire. Les « translations » sont les affinités préservant la parabole dont le déterminant est 1; les réflexions diamétrales sont composées d’une « homothétie » de déterminant -1 et d’une « translation ».

Je vous ferai aussi part ultérieurement d’autres observations relatives aux affinités conservant une conique. 😉
__________
(*) Une application \mathcal T préserve \mathcal C si \mathcal T(\mathcal C)\subset \mathcal C.
(**) Pour ne pas alourdir le texte, j’appelle « déterminant » d’une affinité celui de l’application linéaire qui lui est associée.

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