Affinités préservant une parabole

Intéressons-nous aux affinités d’un plan affine \alpha qui conservent une de ses paraboles, \mathcal P. Les propriétés indiquées sont faciles à prouver et je ne le ferai pas explicitement ici — je préfère les montrer sur des dessins. 😉

Comme les affinités en question préservent sa direction asymptotique \xi, elles conservent également les paraboles obtenues en translatant \mathcal P parallèlement à cette direction, paraboles qui partitionnent le plan \alpha.

Elles forment un groupe isomorphe au groupe \mathrm{Aff}(1,\mathbb R)=\mathbb R^*\ltimes\mathbb R des transformations

t\mapsto at+b

la droite réelle.

On peut en quelque sorte « visualiser » un isomorphisme entre les deux groupes.

Pour cela, fixons une droite \mathcal D de \alpha non parallèle à \xi. La projection parallèle à \xi établit une bijection \theta entre \mathcal P et \mathcal D.

Si T est une affinité de \mathcal D, alors \theta^{-1}\circ T\circ \theta est la restriction à \mathcal P d’une affinité \mathcal T_T de \alpha et la correspondance T\to\mathcal T_T est un isomorphisme de groupes entre le groupe des affinités de \mathcal D et celui des affinités du plan qui préserve la parabole \mathcal P.

Par cet isomorphisme, les translations de la droite correspondent exactement aux affinités de déterminant 1 qui conservent la parabole. On retrouve ainsi qu’une telle affinité est déterminée par deux points de la parabole : un point A et son image A', et on obtient une façon de la construire sur la parabole, différente de celle donnée dans ce billet.

Le dessin suivant illustre cela. Dans cet exemple, la droite \mathcal D est AA' et la translation T est, forcément, celle de vecteur \overrightarrow{AA'}. J’y ai également dessiné la construction de l’image X' de X basée sur les réflexions diamétrales.

translation

Les homothéties de la droite \mathcal D définissent des affinités qui nécessitent trois points de la parabole pour être complètement déterminées : un point fixe O qui correspond au centre de l’homothétie, un point A et son image A'.

Voici un exemple, où cette fois, \mathcal D=OA.

homothetie

Dans cette figure, A'' est la projection de A' sur OA parallèlement à la direction asymptotique de la parabole. L’homothétie considérée de \mathcal D est donc celle de centre O qui applique A sur A''. Pour construire ses images, j’utilise une droite auxiliaire (YZ sur la figure) et j’applique le théorème de Thales.

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