A propos des hyperboles II

En réfléchissant à la propriété présentée dans le billet : A propos des hyperboles, que je savais s’appliquer également aux autres coniques, nous sommes arrivés, un ami et moi, à la conclusion qu’elle est un cas particulier d’une conséquence très simple du théorème de Pascal.

Voici cette conséquence.

Pascal

Soient des points A,B et P d’une conique d’un plan projectif. Les droites AP et BP coupent respectivement une droite \mathcal D en des points U et V. La droite UB coupe la conique en Q et VQ la coupe en C. Semblablement, UC coupe la conique en R et VR en D. Dans ces conditions, AD et BC se coupent en un point de \mathcal  D.

En effet, dans la configuration de l’énoncé, la droite \mathcal D est la droite de Pascal de l’hexagone ARBCPD puisque

AP\cap RC=U\quad \& \quad RD\cap PB=V

Elle passe donc par BC\cap AD.

On retrouve la propriété du billet « A propos des hyperboles » en envoyant la droite \mathcal D à l’infini.😉

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