Sur les affinités préservant une conique II

Lorsqu’une affinité préserve une conique à centre d’un plan affine \alpha, elle fixe le centre de la conique. Par conséquent, elle commute avec les homothéties de \alpha ayant ce point pour centre et préserve donc toutes les images de la conique par ces homothéties, lesquelles forment une partition du plan.

Une parabole de \alpha est dépourvue de centre mais possède une direction asymptotique qui en tient lieu. Une affinité qui préserve la parabole conserve également sa direction asymptotique. Elle commute donc avec les translations parallèles à celle-ci et préservent les images de la parabole sous l’actions de ces translations, qui forment également une partition du plan.

J’ai signalé dans un billet récent que les affinités qui conservent une conique à centre et dont le déterminant est positif ont leurs déterminants égaux à 1. Ce n’est pas vrai pour celles qui préservent une parabole car leur déterminant peut être arbitrairement grand.

Cela noté, voici une caractérisation des affinités dont le déterminant vaut 1 qui préservent une conique de \alpha.

Soit une affinité \mathcal T de \alpha de déterminant 1 pour laquelle il existe A_0 tel que A_0, \mathcal T(A_0), \mathcal T^2(A_0) ne soient pas alignés. Il existe une conique \mathcal C de \alpha telle que \mathcal T(\mathcal C)\subset \mathcal C si, et seulement si, il existe un nombre réel s\neq -1 tel que

(1) \forall A\in \alpha : \quad A-s\mathcal T(A)+s\mathcal T^2(A)-\mathcal T^3(A)=0

On peut préciser davantage les choses : sous les hypothèses de la propriété, les coniques stabilisées par l’affinité sont des ellipses si -1<s<3, des paraboles si s=3 et des hyperboles sinon. En particulier, on peut seulement supposer que le déterminant de l’affinité est positif pour conclure lorsque s\neq 3.

La démonstration de la propriété s’inspire de la démarche présentée dans ce billet.

Si la condition (1) est vérifiée, alors on utilise le résultat présenté dans le billet cité : l’affinité \mathcal T stabilise une conique dont le genre est déterminé comme indiqué ci-dessus. Pour la réciproque, on étudie \mathcal T au cas par cas selon le genre de la conique stabilisée, dans un repère où elle admet une équation de forme canonique (i.e. dont les axes sont deux diamètres conjugués dans le cas des coniques à centre, une tangente et le diamètre conjugué à sa direction dans le cas des paraboles).

Je ne détaillerai pas davantage cette preuve, préférant vous décrire les affinités de déterminant 1 vérifiant (1) et telles que, pour tout A\in\alpha, A,\mathcal T(A) et \mathcal T^2(A) sont alignés.

L’identité répond bien entendu à la question, de même, plus généralement, que les translations de vecteur non nul, à condition de prendre s=3. Une symétrie centrale répond également à la question, avec s=-1. Il y a enfin une famille d’affinités ayant une droite de points fixes et qui stabilise les parallèles à cette droite, comme illustré sur la figure ci-dessous qui montre comment construire l’image X' d’un point X à l’aide de celle d’un point A donné une fois pour toute(*).

T

Ces affinités se restreignent à des translations sur les parallèles à la droite de points fixes. Il faut donc s=3 pour qu’elles vérifient (1).

Voyons comment vérifier tout cela.

Pour commencer, nous supposerons que l’affinité \mathcal T n’est pas l’identité et, lorsque A\neq\mathcal T(A), nous conviendrons de noter \mathcal D_A la droite joignant ces deux points.

Par hypothèse, l’affinité stabilise les droites \mathcal D_A mais ne s’y restreint pas à l’identité. Nous avons donc l’alternative suivante : les droites \mathcal D_A se coupent toutes en un même point, O, (Cas I) ou sont toutes parallèles (Cas II).

Cas I
Le point O est un point fixe de l’affinité et, dans un repère affine dont les axes sont portés par deux droites \mathcal D_A, \mathcal D_B, celle-ci est représentée par une matrice diagonale \mathrm{diag}(u,v). Puisque l’affinité n’est pas l’identité, le point P de coordonnées (1,1) est distinct de son image, le point de coordonnées (u,v). La droite \mathcal D_P passant par O, il vient u=v. Puisque le déterminant de \overrightarrow{\mathcal T} vaut 1, u=\pm 1. L’affinité n’étant pas l’identité, c’est donc la symétrie centrale de centre O. Naturellement, dans ce cas, s=-1.

Cas II
Soient des points A,B,C distincts de leurs images respectives A',B',C'. Par hypothèse, les droites AA', BB', CC' sont parallèles. D’après le théorème de Desargues, soit

AB\parallel A'B', \quad BC\parallel B'C', \quad CA\parallel C'A'

soit deux des intersections

AB\cap A'B', \quad BC\cap B'C', \quad CA\cap C'A'

se font à distance finie, auquel cas \mathcal T a une droite de points fixes, celle passant par ces deux intersections.

Ainsi, si l’affinité ne fixe pas les points d’une droite, c’est une translation de vecteur non nul. Dans ce cas, (1) est vérifié si, et seulement si, s=3.

Supposons enfin que l’affinité admette une droite de points fixes \mathcal F. Si \mathcal D_A et \mathcal F sont sécants, alors, dans un repère affine dont ces droites portent les axes, \mathcal T est représenté par une matrice \mathrm{diag}(u,1)u vaut nécessairement 1, à cause de la condition de déterminant. Mais alors l’affinité est l’identité, contrairement à l’hypothèse. Dès lors, \mathcal D_A et \mathcal F sont parallèles et notre démonstration est achevée.

L’équation (1) fait partie d’une famille d’équations de récurrence linéaires particulières, elles mêmes obtenues en discrétisant une famille d’équations différentielles intervenant dans la géométrie différentielle projective des cercles. Ces équations de récurrences apparaissent dans un article récent, soumis à la publication, où leurs étonnants liens avec les polygones du plan projectif et les 2-frises sont étudiés en détail. Il s’agit de l’article

2-friezes patterns and the cluster structure of the space of polygons

de S. Morier-Genoud, V. Ovsienko and S. Tabachnikov. Il est déposé dans la base de donnée arXiv sous la référence 1008.3359v4 [math.AG] du 21 septembre 2010.

Après avoir lu mes billets précédents consacrés aux billards elliptiques, aux polygones affines réguliers et aux affinités préservant une coniques, V. Ovsienko m’a communiqué l’article et signalé qu’au fil de ces billets, j’avais étudié et classifié sans le savoir les 2-frises fermées associées à certaines de leurs équations de récurrence, ce qui n’était pas fait dans l’article mais qui l’intéresse au plus haut point.

Comme quoi, une question toute simple sur un problème de géométrie élémentaire peut mener à des contrées insoupçonnées!😉

P.S. Je viens de modifier légèrement le texte. J’ai supprimé une affirmation erronée. P.L. 09/01/2015
__________
(*) La droite AX coupe la droite de point fixe en un point par lequel doit passer la droite A'X' et la droite XX' est parallèle à AA', ce qui détermine X'.

2 réflexions sur “Sur les affinités préservant une conique II

  1. Quant on réfléchit bien à la preuve de la détermination des affinités pour lesquelles un point, son image et l’image de celle-ci sont colinéaires, c’est surtout cette propriété jointe au fait que le déterminant vaut 1 qui est décisive. L’équation (1) ne joue pas un rôle déterminant.😉

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