Formule du double produit vectoriel : preuves — II

Voici une fin possible de la preuve « géométrique » de l’identité du double produit vectoriel annoncée ici. Pour résumer, il existe un nombre k tel que

\underbrace{(u\wedge v)\wedge w}_{:=A}=k[\underbrace{(u\cdot w)v-(v\cdot w)u}_{:=B}]

et nous devons vérifier qu’il vaut 1, sachant que u,v sont linéairement indépendants et que w\neq 0 n’est pas orthogonal au plan formé par u,v(*).

Nous allons d’abord voir que |k|=1 en montrant que \|A\|=\|B\|. Nous prouverons ensuite que k>0 par des considérations d’orientation(**).

Cela précisé, il vient

\|A\|^2=\|u\|^2\|v\|^2\|w\|^2\sin^2\gamma\sin^2(u\wedge v,w)

Mais(***)

\sin^2(u\wedge v,w)=1-\cos^2(u\wedge v,w)=1-\frac{[u,v,w]^2}{\|u\|^2\|v\|^2\|w\|^2\sin^2\gamma}

Au total

\frac{\|A\|^2}{\|u\|^2\|v\|^2\|w\|^2}=\sin^2\gamma-\frac{[u,v,w]^2}{\|u\|^2\|v\|^2\|w\|^2}

Un calcul immédiat donne par ailleurs

\frac{\|B\|^2}{\|u\|^2\|v\|^2\|w\|^2}=\cos^2\alpha+\cos^2\beta-2\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma

si bien que \|A\|=\|B\| équivaut à

\frac{[u,v,w]^2}{\|u\|^2\|v\|^2\|w\|^2}=1-\cos^2\alpha-\cos^2\beta-\cos^2\gamma+2\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma=\det\begin{pmatrix}1&\cos\gamma&\cos\beta\\\cos\gamma&1&\cos\alpha\\\cos\beta&\cos\alpha&1\end{pmatrix}

Cette dernière relation est vraie car c’est, particularisée à la dimension trois, une propriété connue du produit mixte, du reste très facile à vérifier, à savoir [u_1,...,u_n]^2=\det(u_i\cdot u_j)_{1\leq i,j\leq n}. Au total : \|A\|=\|B\| et k^2=1.

Pour montrer que k>0, nous allons exploiter le fait que si a,b sont linéairement indépendants, alors

[a,b,a\wedge b]=\|a\wedge b\|^2

est positif. Sous nos hypothèses, u\wedge v et w sont linéairement indépendants. Par conséquent, [u\wedge v,w,A]>0. Il nous suffit donc de montrer que [u\wedge v,w,B]>0. Pour cela, on décompose w dans la base (u,v,u\wedge v) :

w=pu+qv+ru\wedge v

Un calcul simple et direct donne alors

[u\wedge v,w,B]=\|pu+qv\|^2\|u\wedge v\|^2

et le tour est joué car w n’est pas multiple de u\wedge v. 😉

__________
(*) Dans les autres cas, l’identité du double produit vectoriel est vérifiée, ses deux membres étant nuls.
(**) En général, nous noterons (a,b) l’angle non orienté entre a et b. Plus spécifiquement, nous poserons \alpha=(v,w),\quad \beta=(w,u),\quad \gamma=(u,v). Nous allons utiliser les formules suivantes :

\cos(a,b)=\frac{a\cdot b}{\|a\|\|b\|}\quad \&\quad \|a\wedge b\|=\|a\|\|b\|\sin(a,b)

(***) On note [a,b,c]=(a\wedge b)\cdot c le produit mixte des éléments a,b,c de E.

Publicités

Une réflexion sur “Formule du double produit vectoriel : preuves — II

Laisser un commentaire

Entrez vos coordonnées ci-dessous ou cliquez sur une icône pour vous connecter:

Logo WordPress.com

Vous commentez à l'aide de votre compte WordPress.com. Déconnexion / Changer )

Image Twitter

Vous commentez à l'aide de votre compte Twitter. Déconnexion / Changer )

Photo Facebook

Vous commentez à l'aide de votre compte Facebook. Déconnexion / Changer )

Photo Google+

Vous commentez à l'aide de votre compte Google+. Déconnexion / Changer )

Connexion à %s