Formule du double produit vectoriel : preuves — III

Voici la troisième démonstration de la formule du double produit vectoriel promise ici.

La seconde, dite « géométrique » repose sur une propriété élémentaire du produit mixte. Elle est relativement longue. Celle-ci est plus expéditive mais aussi un rien plus abstraite. Elle utilise une propriété élémentaire des applications multilinéaires antisymétriques(*) :

Soit une application p-linéaire antisymétrique \varphi définie sur un espace vectoriel V de dimension p et à valeurs dans un espace vectoriel W. Pour toute application linéaire T:V\to V, T^*\varphi=\det(T)\varphi

Venons-en à la formule du double produit vectoriel, dans un espace réel, de dimension 3, euclidien et orienté E :

(u\wedge v)\wedge w=(u\cdot w)v-(v\cdot w)u

Nous pouvons supposer u,v linéairement indépendants car lorsqu’ils sont linéairement dépendants, les deux membres de l’identité sont nuls. Ils engendrent alors un sous-espace V de dimension 2 de E. Notons \varphi l’application antisymétrique(**)

(x,y)\in V\times V\mapsto (x\wedge y)\wedge w-((x\cdot w)y-(y\cdot w)x)\in E

Choisissons alors une application linéaire T transformant une base orthonormée (e_1,e_2) de V en (u,v), de sorte que

\varphi(u,v)=\det(T)\varphi(e_1,e_2)

En calculant dans la base orthonormée directe (e_1,e_2,e_3:=e_1\wedge e_2) de E, on obtient

\varphi(e_1,e_2)=e_3\wedge w-(w_1e_2-w_2e_1)=0

La formule est ainsi établie.😉

__________
(*) Ne cherchant pas la plus grande généralité, je la formule pour des espaces vectoriels réels de dimension finie. On peut sans doute la formuler pour des corps plus généraux. Pour rappel, avec les notations de l’énoncé,

\forall v_1,\ldots,v_p\in V,\quad(T^*\varphi)(v_1,\ldots,v_p)=\varphi(T(v_1),\ldots,T(v_p))

(**) En fait, les valeurs de \varphi sont dans V mais c’est sans importance pour la suite.

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