Formule du double produit vectoriel : preuves

Je ne trouve pas « simple » d’établir la formule du double produit vectoriel(*)

(u\wedge v)\wedge w=(u\cdot w)v-(v\cdot w)u

Les deux membres étant trilinéaires, on peut bien entendu se contenter de la vérifier pour les éléments d’une base orthonormée directe de l’espace. En tenant compte de certaines (anti-)symétries et d’autres remarques élémentaires, les 27 vérifications que cela comporte en principe se ramènent à une poignée de calculs immédiats.

C’est la méthode que j’utilise lorsque j’enseigne la formule, non sans avoir préalablement justifié sa forme par des considérations géométriques(**) : il est clair que son membre de gauche est a priori une combinaison linéaire au+bv de u et de v car il est orthogonal à u\wedge v. Comme il l’est aussi à w, il existe un nombre k tel que

a=-k(v\cdot w)\quad \&\quad b=k(u\cdot w)

C’est lorsqu’il s’agit de montrer que k=1 que les choses se compliquent. Dans pas mal de preuves proposées dans des ouvrages ou sur le net, on conclut très simplement en affirmant que k ne dépend pas de u,v,w puis en trouvant sa valeur en particularisant ces arguments. Quant à moi, je ne sais pas justifier l’affirmation en italique autrement qu’a posteriori, en calculant k. Aussi, je rejette ces preuves.

Je vais proposer deux vérifications de la formule du double produit vectoriel. La première consiste à compléter la preuve « géométrique » ébauchée en donnant une façon de calculer k. La seconde est intermédiaire entre cette preuve et la démonstration purement calculatoire par laquelle débute ce billet.

Afin de garder des textes de tailles raisonnables, je les présenterai dans les deux billets suivants.

__________
(*) Nous nous plaçons dans un espace vectoriel réel de dimension 3, euclidien et orienté E. C’est par exemple \mathbb R^3 avec son orientation et son produit scalaire standards.
(**) En supposant alors u,v linéairement indépendants, la formule étant trivialement vérifiée lorsqu’ils sont linéairement dépendants.

5 réflexions sur “Formule du double produit vectoriel : preuves

  1. Moi non plus je ne vois pas pourquoi le facteur k ne dépendrait pas de u, v et w. En revanche, je démontre la formule du double-produit vectoriel par un simple calcul en coordonnées dans un BON (d’abord pour la première coordonnée, puis par permutation circulaire pour les deux autres). Quelles sont les « les 27 vérifications » mentionnées ?

  2. Trois valeurs pour u, trois pour v et trois pour w donnent bien a priori 27 possibilités.

    Naturellement, comme indiqué dans le billet, par symétrie ou dépendance linéaire, on réduit immédiatement et significativement le nombre de cas où il y a vraiment quelque chose à vérifier.

    Cela dit, je trouvais intéressant de réfléchir à d’autres vérifications, plus géométriques, ou du moins basées sur des idées et non des calculs mécaniques.

    En particulier, il me plaisait d’achever la démonstration « géométrique ».

    Quoique plus abstraite, j’aime encore bien la dernière.

  3. « A = kB » selon (II); or, on ne change pas k en retranchant à v sa projection orthogonale sur Ru, ni en normalisant u et v, ni en projetant w sur le plan de u et v; alors, le calcul de A et B, avec w=ru+sv et (u,v,t) orthonormé où (t = u^v), devient simple.

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