Une limite en passant

Il est proposé de prouver que, pour tout entier n>1,

\lim\limits_{p\to+\infty}\frac{1}{1+n^p}\sum\limits_{r=0}\limits^{n^p}\sqrt[p]{r}=n

Bon amusement!

8 réflexions sur “Une limite en passant

  1. D’abord on a la majoration grossière

    \frac{1}{1+n^p}\sum_{r=0}^{n^p}\sqrt[p]{r}\leq\frac{1}{1+n^p}\sum_{r=0}^{n^p}\sqrt[p]{n^p}=\frac{1}{1+n^p}\sum_{r=0}^{n^p}n=n.

    Pour minorer on dessine la courbe de la fonction \sqrt[p]{x} et on en déduit que

    \sum_{r=0}^{n^p}\sqrt[p]{r}\geq\int_0^{n^p}x^{1/p}dx=\frac p{p+1}n^{p+1}.

    Donc

    \frac1{n(n^p+1)}\sum_{r=0}^{n^p}\sqrt[p]{r}\geq\frac{pn^p}{(p+1)(n^p+1)}.

    La dernière expression tend vers 1 lorsque p tend vers l’infini, ce qui achève la démonstration.

  2. Cela fonctionne, et plutôt bien!

    Ma démarche consiste à intégrer entre 0 et n la relation, valable pour x>0 :

    x^p-1<\lfloor x^p\rfloor \leq x^p

    en notant que

    \int_0^n\lfloor x^p\rfloor dx =n(n^p-1)-\sum\limits_{r=1}\limits^{n^p-1}\sqrt[p]{r}

    Le résultat vient alors après une ou deux manipulations élémentaires.

  3. Ces deux preuves sont finalement assez similaires car elles passent par une comparaison avec une intégrale d’une fonction.

    Erratum : Il y a encore un n^p qui traine où il fallait mettre un r. Et aussi un = superflu dans la dernière formule… Il serait pratique d’avoir un bouton « prévisualiser ».

  4. D’ailleurs le thème de WordPress met un smiley à côté de « Mars 2010 » (rubrique « Archives »). C’est amusant… J’avais pensé que c’était vous qui l’aviez mis !

  5. J’aime encore assez leur philosophie et je trouve déjà pas mal tout ce qu’on peut faire gracieusement chez eux.
    Naturellement, il ne faut pas être naïf, à côté d’utilisateurs marginaux comme moi, il doit y avoir beaucoup d’utilisateurs qui leur achètent des outils complémentaires et d’autres activités commerciales à la clé.

  6. J’utilise aussi le logiciel WordPress, mais pas l’hébergement offert. Je m’héberge tout seul, avec les inconvénients associés. Par exemple, en ce moment, je ne suis pas chez moi et visiblement mon blog n’est plus accessible. Dans le meilleurs des cas, c’est une coupure de courant…

  7. Je rentre à l’instant de deux jours de détente.

    Effectivement, ton blog ne répond pas. Et c’est très souvent quand on est absent que les tuiles se présentent.

    Mais à côté de ces inconvénients, il y a des avantages à hérberger soi-même ses sites : contrôle absolu, liberté totale etc.

    Cela dit, cela demande un gros travail d’investissement et de maintenance. Ayant déjà à m’occuper de près de M@TH en Ligne, je ne suis pas près de faire le pas.

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