Les opérateurs différentiels sans les dérivées

Il y a une façon purement algébrique de construire l’algèbre des opérateurs différentiels agissant sur les sections de classe C^\infty d’un fibré vectoriel au-dessus d’une variété M. Utile en géométrie différentielle, elle est surtout un moyen d’étendre la notion d’opérateurs différentiels à des situations bien plus générales, où il ne saurait être question de dérivée.

Cette construction, due je crois à A. Grothendieck, est très simple et peut donc être racontée sans trop de difficultés. L’idée sur laquelle elle repose consiste à construire les opérateurs différentiels par récurrence sur leur ordre en se basant sur l’observation suivante : si T est un opérateur différentiel d’ordre k agissant, pour simplifier, sur les fonctions différentiables d’un ouvert de \mathbb R^n, alors pour tout u,

f\mapsto T(uf)-uT(f)

est un opérateur d’ordre k-1.

Les données sont une algèbre associative et commutative \mathfrak a et un de ses modules \mathfrak m. On leur associe un espace filtré

\mathscr D=\bigcup\limits_{k=0}\limits^{+\infty}\mathscr D^k

en définissant \mathscr D^k par récurrence sur k.

On pose

\mathscr D^0=\{\varrho(a)|a\in\mathfrak a\}

\varrho représente l’action de \mathfrak a sur \mathfrak m, puis(*)

\mathscr D^k=\{T\in\mathscr L(\mathfrak m,\mathfrak m)|\forall a\in\mathfrak a\ :\ [T,\varrho(a)]\in\mathscr D^{k-1}\}

On appelle \mathscr D^k l’espace des opérateurs différentiels d’ordre inférieur ou égal à k sur \mathfrak m à coefficients dans \mathfrak a.

Il est amusant de montrer que, pour tous entiers k,\ell \geq 0,

\mathscr D^k\subset \mathscr D^{k+1},\quad \mathscr D^k\circ\mathscr D^\ell\subset\mathscr D^{k+\ell} \quad \& \quad [\mathscr D^k,\mathscr D^\ell]\subset \mathscr D^{k+\ell-1}

Il n’est pas bien compliqué de vérifier que cette définition abstraite rend la notion usuelle d’opérateurs différentiels agissant sur les sections d’un fibré vectoriel. C’est un exercice intéressant à faire, par exemple dans le cas des fonctions de classe C^\infty sur un ouvert de \mathbb R^n.

Mais ici, je vous propose plutôt de trouver les opérateurs différentiels sur \mathbb C^n à coefficients dans \mathbb C, \mathbb C étant considéré comme une algèbre réelle agissant sur l’espace vectoriel réel \mathbb C^n par

\varrho(a) (z^1,\ldots, z^n)=(az^1,\ldots,az^n)

Bon amusement!😉

P.S.2 Il y a une variante de la définition de \mathscr D qui est plus appropriée dans certains cas que celle donnée plus haut. Elle ne diffère de celle-ci que par le choix de \mathscr D^0. Pour cette variante, \mathscr D^0=\{T\in\mathscr L(\mathfrak m,\mathfrak m)|\forall a\in\mathfrak a\ :\ [T,\varrho(a)]=0\} — P.L., le 30 janvier 2012.

P.S. Une solution est proposée dans ce billet — P.L., le 29 mars 2011.
__________
(*) Je note \mathscr L(\mathfrak u,\mathfrak v) l’espace des applications \mathbb K-linéaires de \mathfrak u dans \mathfrak v, où \mathbb K est le corps sur lequel sont construits les espaces vectoriels \mathfrak{u,v}. De plus, [-,-] désigne le commutateur des applications linéaires.

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