Un petit exercice d’algèbre élémentaire

Il s’agit de montrer ceci :

Si la somme des nombres réels u,v,w vaut 1 et si uvw>0, alors il existe des nombres positifs \alpha,\beta,\gamma dont la somme vaut \pi et tels que

u=\cot \beta\cot \gamma,\quad v=\cot\gamma \cot\alpha, \quad w= \cot\alpha \cot \beta

16 réflexions sur “Un petit exercice d’algèbre élémentaire

  1. On sait (v. p. ex. M@th en Ligne, message #11161,14) que, dans le triangle ABC, l’orthocentre H a pour coordonnées barycentriques

    (\cot B\cot C,\cot A\cot C,\cot A\cot B=(\tan A/(\tan A+\tan B+\tan C),\tan B/(\tan A+\tan B+\tan C),\tan C/(\tan A+\tan B+\tan C))

    Donc, dans un repère affine (O,I,J), je construis le point H de coordonnées (affines) (v,w) (c.-à-d. de coordonnées barycentriques (u,v,w)). Je choisis un produit scalaire pour lequel IH et JH sont orthogonales (cela existe) ; les nombres \alpha, \beta et \gamma demandés sont respectivement les mesures des angles \widehat{JOI}, \widehat{OIJ} et \widehat{IJO} pour ce produit scalaire.

  2. Bonjour P. Dupont! 😉

    Ma preuve s’inspire de la même observation. C’est même l’origine de la question.

    Dans ton explication, il y a toutefois quelque chose que je ne comprends pas bien: pourquoi IH et JH orthogonales implique-t-il que H soit l’orthocentre du triangle OIJ?

    Il y a d’autres preuves qui n’utilisent pas le fait mentionné.
    Peut-être quelqu’un va-t-il en proposer?

    PS Attention, ce blog n’utilise pas latex2html. On ne sait qu’incruster des formules, comme expliqué dans la page « Présentation ».

  3. Je reprends mon idée. Il s’agit de montrer qu’il existe un produit scalaire pour lequel H=(v,w) est l’orthocentre.
    Pour cela, je me donne la matrice (symétrique) de ce produit scalaire :
    \left(\begin{array}{cc}a&b\\b&c\end{array}\right) ;
    1) les vecteurs \overrightarrow{JH}=(v,w-1) et \overrightarrow{OI}=(1,0) sont orthogonaux ssi av+b(w-1)=0 ;
    2) les vecteurs \overrightarrow{IH}=(v-1,w) et \overrightarrow{OJ}=(0,1) sont orthogonaux ssi b(v-1)+cw=0.
    Ces deux conditions seront satisfaites, p. ex., par a=w(1-w), b=vw et c=v(1-v). Et dans ce cas, ac-b^2>0, donc la matrice est bien DP.

    • Pour être complet, le caractère DP de la matrice exige aussi a>0, mais c’est le cas puisque 0<w<1.

      A noter que le produit scalaire cherché est unique à multiple (positif) près, ce qui montre que le problème initial n'admet qu'une solution.
      😉

  4. > Il y a d’autres preuves qui n’utilisent pas le fait mentionné.
    > Peut-être quelqu’un va-t-il en proposer?

    Oui, en effet, on peut également procéder par un simple calcul. La formule d’addition

    \cot(\alpha+\beta)=\frac{\cot\alpha\cot\beta-1}{\cot\alpha+\cot\beta}

    peut s’écrire aussi comme

    \cot\alpha\cot\beta+\cot(-\alpha-\beta)\cot\alpha+\cot(-\alpha-\beta)\cot\beta=1.

    Cela signifie que pour tout (\alpha,\beta,\gamma)\in(\mathbb{R}\setminus\pi\mathbb{Z})^3 on a l’égalité

    \cot\alpha\cot\beta+\cot\gamma\cot\alpha+\cot\gamma\cot\beta=1

    si et seukement si

    \alpha+\beta+\gamma\in\pi\mathbb{Z}.

    On pose A=\{(\alpha,\beta,\gamma)\in((\mathbb{R}/\pi\mathbb{Z})^*)^3 | \alpha+\beta+\gamma\in\pi\mathbb{Z}\} et B=\{(u,v,w)\in\mathbb{R}^3 | u+v+w=1\}. Ainsi on a une application A \rightarrow B définie par

    (\alpha,\beta,\gamma)\mapsto (\cot\beta\cot\gamma,\cot\alpha\cot\gamma,\cot\alpha\cot\beta).

    On vérifie que l’élément suivant est un antécédent de (u, v, w) dans B avec uvw>0:

    \begin{pmatrix}\alpha\\\beta\\\gamma\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cot^{-1}\sqrt{vw/u}\\ \cot^{-1}\sqrt{uw/v}\\ \cot^{-1}\sqrt{uv/w}\end{pmatrix}.
    Comme dans A on travaille modulo \pi on peut s’arranger de choisir (\alpha,\beta,\gamma) positifs et de somme \pi.

    • La solution est unique (cela découle de l’approche de P. Dupont, par exemple) et ne vérifie pas toujours la dernière relation que vous écrivez. Celle-ci n’est valide que si u,v,w sont tous positifs.

      Pour une solution, on a toujours
      \cot^2\alpha=\frac{vw}{u}, \mathrm{etc.}
      mais il n’est pas interdit qu’une des inconnues soit plus grande que \pi/2 et donc de cotangente négative. En terme de triangle : cette sorte de solution décrit les triangles ayant un angle obtus.

      Cette petite difficulté faisait d’ailleurs partie du sel de la question. Je donnerai ma version plus tard, pour laisser chacun réfléchir encore au problème.

      Amicalement,

      Pierre

  5. Bien entendu, la solution de P. Dupont est plus intéressante car elle donne un sens géométrique aux calculs.

    > ne vérifie pas toujours la dernière relation que vous écrivez. Celle-ci n’est valide que si u,v,w sont tous positifs.

    Pourquoi ? Pour qu’elle marche il suffit que le produit uvw soit positif (ce qui est une hypothèse de l’énoncé).

    D’ailleurs, je pense qu’avec un peu plus de travail on peut montrer l’unicité (qui n’est pas demandé dans l’énoncé) par un prolongement analytique dans le complexe…

    • J’ai peut-être mal compris quelque chose, mais, vu l’unicité des solutions, et l’existence de cas où la cotangente d’un des nombre cherché est négatif, on ne peut les exprimer tous comme des « arccotangente » de nombres positifs.

      Par exemple,

      (\alpha,\beta,\gamma)=(2\pi/3,\pi/6,\pi/6)

      donne

      (u,v,w)=(3,-1,-1)

      Les nombres \sqrt{uv/w}, ... sont effectivement bien définis mais ils sont les cotangentes de \pi/6, \pi/6 et \pi/3 (auxquels on peut ajouter ou soustraire des multiples de \pi).

  6. Effectivement, ce n’était pas clair dans ce que j’ai écrit. Si, par exemple u et v sont négatifs et w positif le prolongement analytique le long d’un chemin qui contourne l’origine dans le plan des u et dans le plan des v (dans le même sens) donne la formule
    \begin{pmatrix}\alpha\\\beta\\\gamma\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cot^{-1}\sqrt{vw/u}\\ \cot^{-1}\sqrt{uw/v}\\ \cot^{-1}\left(-\sqrt{uv/w}\right)\end{pmatrix}.

    Et si on fait le tour de v dans le sens opposé de celui de u on obtient
    \begin{pmatrix}\alpha\\\beta\\\gamma\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cot^{-1}\left(-\sqrt{vw/u}\right)\\ \cot^{-1}\left(-\sqrt{uw/v}\right)\\ \cot^{-1}\sqrt{uv/w}\end{pmatrix}.

    Je vais détailler ça plus tard, mais sur mon site où je maîtrise mieux les formules LaTeX.

    Amitiés,
    MathOMan

      • Bon, je ne comprends toujours pas bien votre argument (le mot n’est peut-être pas bien choisi🙂 ) d’autant que je ne sais pas non plus ce que représente \mathrm{cot}^{-1}.

        Il y a de toute façon une solution qui évite des outils relativement sophistiqués tel le prolongement analytique qui n’est pas accessible dans le secondaire.

        Pour le latex sur le blog, je suis désolé de la difficulté. Il faut peut-être faire une source séparément puis la transposer (en rajoutant le mot clé « latex » aux bons endroits).

        De toute façon, je peux toujours corriger les textes postés.

  7. Pour l’unicité de la solution il n’y a pas besoin d’argument sophistiqué. On a uvw=(cot \alpha cot\beta cot\gamma)^2 donc il existe \epsilon=\pm 1 tel que cot \alpha cot\beta cot\gamma=\epsilon\sqrt{uvw}. On en déduit que cot\alpha = \epsilon \frac{\sqrt{uvw}}{u}, etc.

    Premier cas : u,v,w>0. Comme au moins l’un des cot est >0, on a \epsilon =1.

    Deuxième cas : exactement deux des u,v,w sont négatifs. Alors \epsilon = -1, sinon deux des angles seraient obtus.

    • Ni pour l’existence, ni pour l’unicité, il n’y a en effet besoin d’argument sophistiqué.

      Comme je l’ai mentionné plus haut, ce sont des considérations analogues à celles de la solution présentée par P. Dupont qui m’ont conduit à poser l’exercice mais celui-ci reste d’un niveau tout à fait élémentaire.

      Voici l’autre solution, très simple, que je propose.

      Bien entendu, si u,v,w>0, je pose

      \alpha=\arctan\sqrt{\frac{u}{vw}}, \quad \mathrm{etc.}

      Cela définit trois nombres compris entre 0 et \pi/2. Leur somme vaut \pi car si on en calcule la tangente, on obtient 0 en raison du fait que u+v+w=1.

      Sinon, deux des nombres en question sont négatifs. Par exemple v,w. Les nombres

      u'=\frac 1 u,\quad v'=-\frac v u,\quad w'=-\frac w u

      sont positifs de même que leur produit et leur somme vaut 1. D’après ce qui précède, il leur correspond une solution \alpha', etc.

      On obtient alors une solution du problème initial en posant

      \alpha=\pi-\alpha', \quad \beta=\pi/2-\gamma',\quad \gamma=\pi/2-\beta'

      Géométriquement, cela consiste à passer d’un triangle dont un angle est obtus au triangle acutangle obtenu en remplaçant le sommet de l’angle obtus par l’orthocentre.
      😉

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