Produits scalaires et nombre d’or II

Dans cet article, je posais une question à laquelle je vais à présent donner une réponse qui me semble amusante.

Pour rappel, on considère un triangle \Delta=ABC d’un plan affine \mathcal{E} modelé sur un espace vectoriel réel E; on note g_A et g_B les produits scalaires de E faisant respectivement de \Delta un triangle rectangle en A et en B, et dont les côtés de l’angle droit sont de longueur 1. On demande alors pour quelles valeurs du nombre réel t, la forme bilinéaire

g_t=(1-t)g_A+tg_B

est un produit scalaire(*).

Comme on le calcule aisément,

g_t(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AB})=1,\quad g_t(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AC})=1+t \quad \& \quad g_t(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=t

En particulier, M désignant le milieu du segment [A,B],

g_t(\overrightarrow{CM},\overrightarrow{CM})=g_t(\frac 1 2 \overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC},\frac 1 2 \overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC})=\frac 5 4

Fixons alors une structure euclidienne sur \mathcal E dans laquelle \|\overrightarrow{AB}\|=1, par exemple en munissant E du produit scalaire g_B.

Dans ces conditions, lorsque g_t est un produit scalaire, il confère au triangle \Delta la forme d’un triangle ABC_t dans lequel le côté opposé à C_t est de longueur 1 et la médiane issue de C_t est de longueur \sqrt 5 / 2.

Lorsque t varie, le sommet C_t se déplace donc sur un (demi-)cercle comme illustré sur le dessin suivant.

De plus, comme

g_t(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC_t})=t

l’abscisse affine par rapport à [A,B] de sa projection orthogonale C'_t sur la base opposée vaut t.

Il est alors clair que les valeurs cherchées de t sont les abscisses des points situés entre les intersections M', M'' du cercle avec la droite AB, points d’abcsisses respectives

\varphi=\frac 1 2(1+\sqrt 5) \quad \& \quad -\frac{1}{\varphi}= \frac 1 2(1-\sqrt 5)

Autrement dit g_t est un produit scalaire si, et seulement si

t\in  ]-\frac{1}{\varphi},\varphi[

P.S. Pour corriger une erreur, je viens de permuter les sommets du triangle afin de faire jouer à A,B le rôle initialement dévolu à B,C en début de billet.
Cette modification n’a pas été transposée dans les commentaires ci-dessous, dans lesquels g_t a sa valeur initiale, à savoir (1-t)g_B+tg_C — P.L., le 20 novembre 2013.
__________
(*) Dans le billet cité, on précise l’intervalle de variation à trouver, que nous allons redécouvrir. On demande également le lieu de l’orthocentre de \Delta mais je n’aborderai pas ce problème ici.

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5 réactions sur “Produits scalaires et nombre d’or II

  1. De manière plus analytique, si on prend un repère affine tel que A=0, B=(1,0) et C=(0,1) alors g_t=(1-t)((x+y)^2+y^2)+t(x^2+(x+y)^2) a pour matrice
    \left(\begin{array}{cc} 1+t & 1 \\ 1 & 2-t\end{array}\right). Comme sa trace vaut 3, elle est définie positive si et seulement si son déterminant -t^2+t+1 est strictement positif.

  2. C’est tout à fait clair! Et d’ailleurs c’est la solution à laquelle je m’attendais en postant le premier billet. Ici, je trouvais amusant de fixer la métrique de l’espace et de voir quelles formes le triangle prend avec le produit scalaire g_t.

    Chose amusante, le lieu de l’orthocentre du triangle n’a pas la même apparence selon qu’on l’examine du point de vue affine — essentiellement dans votre repère — ou selon l’autre.

  3. P.S. Pour ce qui est de l’orthocentre, en écrivant que \vec{BH}.\vec{AC}=0 et \vec{CH}.\vec{AB}=0 on obtient un système linéaire de 2 équations et 2 inconnues dont la solution est x=\frac{1-t}{1+t-t^2} et y=\frac{t}{1+t-t^2}. On en déduit t=y/(x+y), ce qui permet d’éliminer t entre les deux équations:

    x+y=x^2+y^2+3xy. Le centre a pour coordonnées (1/5,1/5).

  4. Effectivement! En faisant le changement de variables

    u=x+y-\frac 2 5, \quad v=y-x

    l’équation de l’hyperbole devient

    \frac{25}{4}u^2-\frac 5 4 v^2=1

    ce qui rend manifestes ses caractéristiques géométriques.

    Il faut noter, cependant, que le lieu de l’orthocentre consiste seulement en une branche de l’hyperbole et non en toute l’hyperbole. Il est en effet connexe comme le montre sa description paramétrique.

  5. J’ajoute que le lieu de l’orthocentre du triangle ABC_t est une branche d’une courbe du quatrième degré. Elle est symétrique par rapport à la médiatrice du segment [A,B]. Elle passe par A , B et admet deux asymptotes perpendiculaires à AB en les points d’abscisses \varphi et -1/\varphi.

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