Le parallélogramme diabolique et le nombre de cuivre

Sur un forum de mathématique, quelqu’un proposait récemment de déterminer la surface minimale d’un parallélogramme inscrit dans un rectangle (d’une manière détaillée plus bas). L’énoncé précisait — la chose est importante pour la suite — que les côtés du rectangle sont de longueurs 3 et 4.

Un internaute a fourni la solution suivante : il exprime l’aire s du parallélogramme en fonction d’un paramètre x dont nous verrons la signification plus loin; il trouve, par simple examen d’une figure illustrant le problème,

s(x)=12-7x+2x^2

et affirme que le minimum s’obtient lorsque x est l’unique zéro, 7/4, de la dérivée de s.

En l’occurrence, cette solution est correcte mais, d’une certaine façon, c’est accidentel! Quelle ne fut pas ma surprise, en effet, reprenant le problème avec un rectangle dont les côtés sont de dimensions quelconques a < b, et autorisant les sommets du parallélogramme à se trouver éventuellement sur les prolongements des côtés proprement dits, de constater qu'il y a des cas pour lesquels l'aire n’est pas une fonction dérivable de x et qu’elle atteint son minimum en les valeurs de x en lesquelles elle n’a pas de dérivée!

Comme nous allons le voir, tout dépend de la forme du rectangle, à savoir, du rapport b/a, le phénomène considéré apparaissant exactement lorsque ce rapport dépasse

\kappa:=3+2\sqrt 2\simeq 5,828427124746189

Les rectangles pour lesquels c’est le cas sont fort « plats ». Il est rare qu’on en trace spontanément. Aussi le phénomène ne risque-t-il guère d’être observé lorsqu’on étudie sommairement le problème proposé. Dans l’exemple cité au début de ce texte, b/a est inférieur à \kappa, ce qui valide jusqu’à un certain point la solution de l’internaute.

Voyons les choses d’un peu plus près. Comme illustré sur la figure ci-dessous, nous considérons un parallélogramme A'B'C'D' inscrit dans un rectangle ABCD. Plus précisément, A' et C' sont disposés sur les côtés les plus longs du rectangle (de longueur b), ou sur leur prolongements, et B', D' sur les côtés les plus courts (de longueur a). On souhaite de plus que les sommets du parallélogramme soient reportés à « la même distance » à partir de chaque sommet du rectangle et « dans le même sens », ce qui se traduit par les égalités(*)

\frac 1 b \overrightarrow{AA'}\cdot\overrightarrow{AB}=\frac 1 b \overrightarrow{CC'}\cdot\overrightarrow{CD}=\frac 1 a \overrightarrow{BB'}\cdot\overrightarrow{BC}=\frac 1 a \overrightarrow{DD'}\cdot\overrightarrow{DA}

parallelogramme_1

Prenons pour paramètre

x=\frac 1 b \overrightarrow{AA'}\cdot\overrightarrow{AB}

Il s’agit d’une sorte de mesure algébrique du segment [A,A'], le signe de x précisant de quel côté de A se trouve A' sur la droite AB.

On pourrait envisager de calculer l’aire du parallélogramme en utilisant la figure précédente, en l’exprimant comme la différence entre celle du rectangle et la somme de celles des triangles D'AA', A'BB', B'CC', C'DD' mais cela nous obligerait à prendre en considérations les autres configurations, telle celle représentée sur la figure suivante,

parallelogramme_2

auxquelles ce décompte ne s’applique pas. Au surplus, comme le laisse entendre ce que j’ai écrit plus haut, ces autres configurations dépendent de la forme du rectangle, ce qui les rend délicates à recenser. C’est donc vers la géométrie analytique que je me suis tourné pour obtenir l’expression que voici de l’aire s(x) du parallélogramme(**) :

s(x)=|2x^2-(a+b)x+ab|

Si le trinôme 2x^2-(a+b)x+ab n’a pas de zéro réel ou n’en n’a qu’un, ses valeurs sont positives ou nulles. La fonction s est alors dérivable et il est clair que son minimum est atteint en x=(a+b)/4 et vaut

(1) \frac 1 8 \left(6ab-a^2-b^2\right)

Si, au contraire, le trinôme 2x^2-(a+b)x+ab possède deux zéros réels, alors le minimum de s est 0, valeur atteinte en ces deux zéros qui sont précisément les points en lesquels s n’est pas dérivable. Sa dérivée admet par ailleurs un unique zéro en lequel il atteint un maximum local…

Ce cas est illustré sur l’image suivante, qui représente une partie du graphe de s lorsque a=1, b=8.

graphe

Le discriminant du trinôme en question vaut

a^2+b^2-6ab=(a-\kappa b)(a-\frac{1}{\kappa}b)

La conclusion de ce qui précède est donc celle-ci : lorsque

1\leq \frac b a \leq \kappa

l’aire minimale du parallélogramme vaut (1) et est atteinte en x=(a+b)/4. Elle vaut 0 sinon et s atteint alors un maximum local en x=(a+b)/4.

La figure ci-dessous montre une configuration correspondant à cette dernière situation. On voit bien sur ce dessin qu’en rapprochant un peu A' de B, on obtiendra un parallélogramme plat. On en obtient un autre avec une position de A' proche de A.

parallelogramme_3

Le nombre d’or est la proportion des côtés des rectangles les plus harmonieux, dit-on. En boutade, un ami m’a proposé d’appeler \kappa le nombre de platine. Je préfère l’appeler le nombre de cuivre : moins noble que son aîné, il rutile autant …😉

P.S. Texte modifié pour tenir compte de la remarque tout à fait pertinente de JLT — P.L., le 29 mars 2011.
P.S. On trouvera ici un rectangle pour lequel b/a=\kappa et dans lequel est inscrit un parallélogramme plat — P.L., le 18 novembre 2013.
__________
(*) Le point centré désigne le produit scalaire.
(**) J’ai utilisé un repère dont l’origine est le centre de symétrie du rectangle et dont les axes sont portés par ses médianes. Le calcul est très simple.

3 réflexions sur “Le parallélogramme diabolique et le nombre de cuivre

  1. Je dois etre mal reveille, mais je ne comprends pas. Dans tout rectangle ABCD, n’y a-t-il pas des parallelogrammes arbitrairement plats, proches de la diagonale AD ?

  2. Oups! Si, bien sûr! Dans un esprit de concision, j’ai simplifié excessivement l’énoncé — et me suis planté, désolé! (Et très fâché contre moi-même!)

    Le problème initial précise effectivement qu’on construit le parallélogramme comme je l’ai indiqué, en reportant « la même distance » à partir de chaque sommet, et « dans le même sens ».

    Je vais d’ailleurs corriger le texte en conséquence.

    Merci de l’observation!

    (Vraiment diabolique ce parallélogramme …😉 )

  3. Pingback: Quelques belles images | Blog de Pierre Lecomte

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