Applications linéaires réelles versus complexes

Voici une décomposition intéressante des applications linéaires réelles de \mathbb C^n dans lui-même. Elle donne lieu à une solution simple du problème posé à la fin de ce billet sur laquelle je reviendrai plus bas(*).

Soit T\in\mathscr L_{\mathbb R}(\mathbb C^n,\mathbb C^n). Il existe A,B\in\mathscr L_{\mathbb C}(\mathbb C^n,\mathbb C^n) tels que

(1) \forall z\in\mathbb C^n, \quad T(z)=A(z)+B(\bar z)

Cette décomposition de T est unique.

La propriété est facile à vérifier : si (1) est vrai, alors pour tout z\in\mathbb C^n,

T(z)=A(z)+B(\bar z)\quad\&\quad T(iz)=iA(z)-iB(\bar z)

de sorte que l’on doit nécessairement avoir

A(z)=\frac{1}{2i}\left(T(iz)+iT(z)\right)\quad\&\quad B(z)=\frac{1}{2i}\left(-T(i\bar z)+iT(\bar z)\right)

Ceci établit l’unicité de la décomposition cherchée de T mais aussi son existence. En effet, ces relations définissent des applications A et B qui sont \mathbb R-linéaires, commutent avec la multiplication par i et vérifient (1).

Venons-en au petit problème posé à la fin du billet rappelé plus haut. Il s’agit de déterminer les espaces d’opérateurs différentiels \mathscr D^k, k=0,1,2,... de l’algèbre réelle \mathbb C agissant sur l’espace vectoriel réel \mathbb C^n par l’action

\varrho_a:(z^1,...,z^n)\mapsto (az^1,...,az^n)

Pour rappel, \mathscr D^k est défini par récurrence :

\mathscr D^0=\{\varrho_a|a\in\mathbb C\}=\{a\ \mathrm{id}_{\mathbb {C}^n}|a\in\mathbb C\}\simeq\mathbb C

et, pour k\geqslant 0,

\mathscr D^{k+1}=\{T\in\mathscr L_{\mathbb R} (\mathbb C^n,\mathbb C^n)|\forall a\in\mathbb C: [T,\varrho_a]\in\mathscr D^k\}

Ainsi, \mathscr D^0 est le centre de l’algèbre \mathscr L_{\mathbb C}(\mathbb C^n,\mathbb C^n) tandis que celle-ci est évidemment incluse à chaque \mathscr D^k, k>0. En fait

Pour tout k >0, on a

\mathscr D^k=\mathscr L_{\mathbb C}(\mathbb C^n,\mathbb C^n)

Nous allons vérifier cela par récurrence. Comme le cas de base utilise le même argument que celui de l’étape d’induction à des adaptations évidentes près, je me contenterai de procéder à celle-ci.

Soit donc T\in\mathscr D^{k+1}. Par hypothèse de récurrence, les commutateurs [T,\varrho_a] sont des applications linéaires complexes. En prenant a=i, on voit ainsi qu’il existe une application linéaire complexe P telle que

\forall z\in\mathbb C^n : \quad T(iz)-iT(z)=P(z)

Avec la décomposition (1) de T, ceci s’écrit encore

\forall z\in\mathbb C^n : \quad B(z)=-\frac{1}{2i}P(\bar z)

Comme B est linéaire complexe, cette relation implique qu’il est nul et le tour est joué! 😉
__________
(*) On désigne par \mathscr L_{\mathbb K}(V,W) l’ensemble des applications \mathbb K-linéaires d’un espace vectoriel V dans un espace vectoriel W.

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2 réflexions sur “Applications linéaires réelles versus complexes

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