Applications linéaires réelles versus complexes II

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Ce blog me sert un peu de pense-bête : j’y note souvent des idées avant qu’elles n’aient pleinement muri plutôt que d’y transcrire des synthèses de réflexions abouties. C’est dû à une certaine impatience de ma part et cela résulte en l’apparition de clones numérotés en romain de nombreux billets. J’espère qu’on ne m’en tiendra pas trop rigueur!

Quoi qu’il en soit, voici un nouveau clone, d’un billet tout récent dont je vais généraliser ici une des conclusions, grâce à une observation qui m’est venue à l’esprit en le relisant et en y réfléchissant à nouveau.

Nous allons obtenir une description amusante (mais sans prétention) de l’ensemble \mathcal L_{\mathbb C}(E,E) des applications \mathbb C-linéaires d’un espace vectoriel complexe E dans lui-même au sein de l’espace \mathcal L_{\mathbb R}(E,E) de ses applications \mathbb R-linéaires.

C’est, pour k>0, l’ensemble \mathscr D^k des opérateurs différentiels abstraits (au sens de ce billet) associés à l’action(*)

\varrho : a\in\mathbb C\mapsto a\ \mathrm{id_E}\in \mathcal L_{\mathbb R}(E,E)

de \mathbb C, considéré comme algèbre associative réelle, sur E, considéré comme espace vectoriel réel.

Il est clair qu’une application T\in\mathcal L_{\mathbb R}(E,E) est \mathbb C-linéaire si, et seulement si, elle commute avec la multiplication par i. Plus généralement(**)

(1) Une application T\in\mathcal L_{\mathbb R}(E,E) est \mathbb C-linéaire s’il existe un entier k>0 tel que \mathrm{ad}(\varrho_i)^kT=0.

Ceci résulte immédiatement de ce que

\forall z\in\mathbb C : \quad (\mathrm{ad}(\varrho_i)^2T)(z)=i[iT(z)-T(iz))]-[iT(iz)-T(i^2z)]=2i(\mathrm{ad}(\varrho_i)T)(z)

D’après la définition de \mathscr D^k,

\mathscr D^k\subset\{T\in\mathcal L_{\mathbb R}(E,E)|\forall a_1,...,a_k\in \mathbb C, \mathrm{ad}(\varrho_{a_1})\cdots\mathrm{ad}(\varrho_{a_k})T\in\mathcal L_{\mathbb C}(E,E)\}

Il résulte alors de (1) que \mathscr D^k\subset\mathcal L_{\mathbb C}(E,E). Pour k>0, \mathcal L_{\mathbb C}(E,E)\subset\mathscr D^k et, dès lors, \mathscr D^k=\mathcal L_{\mathbb C}(E,E).

__________
(*) La notation \mathrm{id_E} désigne l’identité de E dans lui-même.
(**) La notation \mathrm{ad} désigne le commutateur : \mathrm{ad}(P)Q=PQ-QP.

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