Blog de Pierre Lecomte

5 avril 2011

Théorème de Ceva et coordonnées barycentriques

Classé dans : Elémentaire,Enseignement — Pierre Lecomte @ 4:04  

Une droite issue d’un sommet d’un triangle est une cévienne du triangle et son pied, s’il existe, est son point d’intersection avec le côté opposé à ce sommet. Dans ce qui suit, nous supposerons que ce n’est jamais un des sommets du triangle.

ceva_1

D’après le théorème de Ceva, si des céviennes AA', BB' et CC' d’un triangle ABC se coupent en un point I, alors le produit des rapports de sections de leurs pieds A',B',C' par rapport à leurs côtés respectifs vaut 1. Plus précisément, avec les notations de la figure ci-dessus(*),

(1) \sigma_{A,B}(C')\sigma_{B,C}(A')\sigma_{C,A}(B')=1

Mon but est de déterminer la position relative de I sur chaque cévienne ainsi que ses coordonnées barycentriques par rapport au triangle ABC, en terme des nombres \lambda=\sigma_{B,C}(A'), \mu=\sigma_{C,A}(B'), \nu=\sigma_{A,B}(C').

Pour obtenir le rapport de section de I par rapport à [A,A'], il suffit d’appliquer le théorème de Ménélaüs au triangle AA'C et aux points alignés B, B', I. Cela donne

\sigma_{C,A}(B')\sigma_{AA'}(I)\sigma_{A'C}(B)=-1

Or,

\sigma_{A'C}(B)=\frac{\overrightarrow{A'B}}{\overrightarrow{BA'}+\overrightarrow{A'C}}=-\frac{\lambda}{\lambda+1}

de sorte que, vu la relation \lambda\mu\nu=1,

(2) \sigma_{AA'}(I)=(\lambda+1)\nu

Voici une première conséquence de cette propriété.

(3) Si \sigma_{AA'}(I)=\sigma_{BB'}(I), alors CC' est une médiane du triangle ABC, ce qui arrive si, et seulement si, A'B' est parallèle à AB.

En effet, en tenant compte de (1) et de (2), l’égalité \sigma_{AA'}(I)=\sigma_{BB'}(I) donne

(\lambda+1)\nu^2-\lambda\nu-1=[(\lambda+1)\nu+1](\nu-1)=0

On ne peut avoir (\lambda+1)\nu+1=0 car aucun rapport de section ne vaut -1. Par suite, \nu=1 et C' est le milieu du segment [A,B]. Vu (1), ceci équivaut à \lambda\mu=1, ou encore à

\sigma_{B,C}(A')=\sigma_{A,C}(B')

relation traduisant le parallélisme des droites A'B' et AB.

Une conséquence amusante de (3) est ceci : le centre de gravité d’un triangle est la seule intersection de céviennes issues de chaque sommet du triangle qui occupe la même position relative par rapport aux segments découpés sur celles-ci par le triangle.

Pour obtenir les coordonnées barycentriques de I par rapport à ABC, on utilise le fait que si le rapport de section par rapport au segment [P,Q] d’un point X de la droite PQ est \sigma, alors

X=\frac{1}{1+\sigma}P+\frac{\sigma}{1+\sigma}Q

Cela permet d’exprimer A' comme combinaison affine de B,C à l’aide de \lambda et, grâce à (2), d’exprimer I comme combinaison affine de A, A' à l’aide de \lambda, \nu. En reportant l’expression de A' dans celle trouvée pour I, et en utilisant (1), il vient alors facilement

(4) I=\frac{1}{(\lambda+1)\nu+1}A+\frac{1}{(\mu+1)\lambda+1}B+\frac{1}{(\nu+1)\mu+1}C

Pour illustrer cette formule, prenons comme céviennes les bissectrices intérieures du triangle. Pour ces dernières, \lambda=c/b,\quad \mu=a/ c,\quad \nu=b /aa,b,c sont les longueurs des côtés opposés à A,B,C dans cet ordre. On retrouve ainsi les coordonnées barycentriques du centre du cercle inscrit(**)

Les coordonnées barycentriques du centre du cercle inscrit à ABC sont \left(\frac{a}{a+b+c},\frac{b}{a+b+c},\frac{c}{a+b+c}\right).

Revenons-en à des considérations générales.

Il se fait que la condition (1) serait également vérifiée si, au lieu d’être concourantes, les céviennes AA', BB' et CC' étaient parallèles et c’est la valeur des dénominateurs de (4) qui différencie ce cas de celui où elles sont concourantes.

Si aucun d’eux n’est nul, alors les céviennes sont concourantes, en le point I donné par (4).

Par contre, si l’un d’eux est nul, alors, sous l’hypothèse (1), ils le sont tous les trois et les céviennes sont parallèles à la direction commune à

\overrightarrow{AB}+\lambda\overrightarrow{AC},\quad \overrightarrow{BC}+\mu\overrightarrow{BA},\quad \overrightarrow{CA}+\nu\overrightarrow{CB}

Il est frappant de représenter les choses graphiquement. On convient de représenter les céviennes AA',BB' et CC' par le point de \mathbb R^3 de coordonnées (\lambda,\mu,\nu).

Le lieu des points correspondants aux céviennes vérifiant la condition (1) est une surface, \mathscr C, ayant quatre composantes connexes, chacune définie par une distribution des signes des coordonnées.

Le lieu des points correspondant à des céviennes parallèles est une courbe tracée sur cette surface, \mathscr P. Elle possède trois composantes connexes, disposées sur trois des composantes connexes de \mathscr C — des rapports de sections relatifs à des céviennes parallèles ne peuvent tous être positifs ce qui les exclut d’une composante connexe de la surface.

Les surfaces d’équations \lambda\mu+\lambda+1=0, \nu\lambda+\nu+1=0 et \mu\nu+\mu+1=0 sont des cylindres hyperboliques, \mathscr I, \mathscr J et \mathscr K, dont les axes de symétries sont orthogonaux deux à deux. Chaque cylindre coupe \mathscr C selon \mathscr P. Les cylindres se coupent deux à deux selon \mathscr P.

J’ai représenté toutes ces surfaces dans un article posté sur le site Images des mathématiques dont je vous recommande chaleureusement la fréquentation. Voici l’adresse du billet en question : La troisième dimension du théorème de Céva.

Cela vaut peut-être la peine d’y jeter un coup d’oeil afin de bien visualiser les phénomènes décrits. ;-)
__________
(*) Il faut préciser la définition du rapport de section utilisée ici. Si X est un point de la droite passant par des points P, Q, alors le rapport de section de X par rapport au segment [P,Q] est le rapport

\sigma_{P,Q}(X)=\frac{\overrightarrow{PX}}{\overrightarrow{XQ}}

des nombres par lesquels il faut multiplier \overrightarrow{PQ} pour obtenir les numérateur et dénominateur de cette "fraction". Dans certains textes, c’est l’opposé de ce nombre.
(**) Pour les cercles exinscrits, on remplace a, b ou c par son opposé. En effet, les rapports de sections par rapport au côté opposé des pieds des bissectrices intérieure et extérieure d’un même angle sont opposés.

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Un commentaire »

  1. Une fois (2) établi, il était bien naturel d’en déduire (3). On peut cependant obtenir (3) directement — sans référence au théorème de Ceva — ce qui semblera peut-être plus simple à certains.

    Supposons que \sigma_{A,A'}(I)=\sigma_{B,B'}(I). Il existe une homothétie de centre I transformant A en A' et B en B'. En particulier, les droites AB,A'B' sont parallèles.

    De plus, l’homothétie transforme le milieu C'' de [A,B] en celui de [A',B'], que nous noterons C'''. Les points I,C'', C''' sont donc alignés.

    Les droites AB,A'B' étant parallèles, il existe aussi une homothétie de centre C transformant A en A' et B en B', ce qui prouve que les points C,C'',C''' sont alignés.

    Au total, la droite CI=CC' coïncide avec la médiane CC''.

    Commentaire par Pierre Lecomte — 7 avril 2011 @ 10:26   | Réponse


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