Examens, étudiants et parallélisme

Les étudiants et leurs proches ne sont pas les seuls à redouter les sessions d’examens. J’ai l’impression que beaucoup de mes collègues ne les aiment pas non plus. Je suis de ceux-là, qui trouvent très pénible la tâche de l’examinateur.

Nous sommes bien d’accord, en l’état actuel de l’organisation des études, les examens sont indispensables. Mais, fondamentalement, je suis un conteur et les histoires que j’aime à faire entendre décrivent de merveilleux paysages des contrées mathématiques. Je préfèrerais donc que mes étudiants viennent au cours comme ils assisteraient à des conférences, qu’ils quitteraient de la même façon, avec des souvenirs et des opinions personnelles, bref un certain enrichissement — et qu’on en reste là!

Par contraste, je trouve assez vulgaire le contrat stressant et peu glorieux dont sont assorties les études. Difficile à cerner celui-ci est souvent caricaturé par les élèves. Pour beaucoup, il consiste à se transformer en miroir fidèle, à apprendre à dire et faire ce que l’on croit que le professeur attend qu’on dise et fasse.

Quel paradoxe! Ce n’est pas le moins décevant du métier d’examinateur : les élèves abordant l’enseignement universitaire, et l’enseignement des mathématiques en particulier, sont tout sauf des imbéciles. Beaucoup ont déjà une belle personnalité sociale, culturelle et intellectuelle, mais le système génère un contexte particulièrement aliénant de sorte qu’au moment de l’examen, ils sont trop nombreux à ne guère témoigner de ces qualités. Au contraire, ils donnent parfois l’impression d’en être cruellement dépourvus.

La connotation et la taille de ce préambule sont inhabituelles dans mes billets. Elles pourraient dénoter un certain pessimisme de ma part et laisser entendre que mon propos ne concerne pas les mathématiques.

C’est tout le contraire! Si je suis effectivement globalement pessimiste et fort critique à l’égard de l’enseignement belge francophone, j’aimerais illustrer ici un phénomène réconfortant auquel j’ai pu assister en faisant passer des examens : la réflexion originale d’étudiants menant à de nouvelles preuves ou à de nouveaux points de vue.

On pourrait vouloir tempérer mon enthousiasme en observant que ces nouvelles idées ne sont peut-être pas le fait des étudiants eux-mêmes mais bien celui de ceux auprès desquels ils sont allés éventuellement chercher de l’aide en étudiant le cours, ou qu’elles sont involontaires (on est parfois étonné de l’imagination dont font preuve certains pour masquer leur ignorance).

C’est fort possible, bien entendu, mais d’une part, je ne crois pas que cela soit systématiquement le cas — la tonalité générale et la maturité de certaines copies ne laissent pas place au doute et, d’autre part, quand bien même il en irait ainsi, j’apprécie hautement que l’étudiant « transgresse » le mauvais contrat dénoncé ci-dessus en proposant d’autres solutions que celles que je lui ai présentées. Quant à la bonne réponse donnée par hasard, je n’y crois pas trop. De toute façon, quelle qu’en soit l’origine, une réponse originale donnée par un étudiant m’apprend toujours quelque chose, ce qui est déjà bien utile.

Le phénomène est, on s’en doute, assez rare. J’en tiens toujours compte en modifiant mon enseignement en conséquence, souvent en ajoutant la nouvelle approche à celle adoptée initialement, plutôt qu’en la lui substituant. Je préfère en effet proposer plusieurs solutions aux étudiants lorsqu’elles relèvent d’approches différentes et de mécanismes de preuves distincts.

Cette année — la session n’est pas encore achevée — j’ai eu ainsi deux agréables surprises. Celle dont je vais parler concerne le parallélisme et m’a inspiré plusieurs réflexions. Tout d’abord, je n’avais pas assez réfléchi à cette notion en préparant mon cours. Ensuite, l’idée sous-jacente à la réponse de l’étudiant est « belle » comme peuvent être « beaux » des concepts mathématiques. Enfin, elle est transposable, généralisable : elle met en évidence un paramètre qui m’avait échappé.

Celui-ci m’apparaît à présent avec une telle évidence que je suis persuadé qu’il existe des textes dans lesquels il est exploité, ce que je n’ai pas encore vérifié, et qu’il semblera aller de soi pour beaucoup d’entre vous. Autrement dit, j’étais d’une certaine façon dans une sorte d’ornière concernant le parallélisme et la copie de l’étudiant m’a donné le déclic salutaire pour prendre un certain recul.

Tout ce qui suit est des plus élémentaire et vous serez peut-être étonné que j’aie tant discouru avant d’en venir à ces faits : j’ai peine à concilier concision et didactique, cette science qui me semble fort passionnante mais que je découvre à peine.

Je définis pour ma part la notion d’espace affine en donnant un rôle central aux translations. Ainsi, une structure d’espace affine modelée sur un espace vectoriel E est une action à droite libre et transitive du groupe additif de cet espace sur un ensemble \mathcal E. L’action de \mathbf u est la translation de vecteur \mathbf u.

Les axiomes des actions permettent immédiatement d’établir la relation de Chasles laquelle débouche aussitôt sur le calcul barycentrique : à l’aide de nombres \alpha_i et de points A_i, on peut construire un objet

\alpha_1A_1+\cdots+\alpha_pA_p

qui est un point(*) lorsque la somme des nombres donnés vaut 1 et un vecteur lorsque cette somme est nulle.

A côté de ces opérations géométriques, on introduit des objets géométriques. Là tout dépend de ce qu’on ambitionne de faire, mais dans un premier temps, il s’agit des objets rectilinéaires, destinés à généraliser les droites et les plans faisant partie du bestiaire géométrique des élèves : les variétés affines.

Je les introduis en deux temps.

On précise d’abord ce qu’est une droite : par définition, une droite de \mathcal E est l’ensemble de toutes les combinaisons affines de deux points.

Ensuite, on caractérise une variété affine comme étant une partie de \mathcal E qui, chaque fois qu’elle contient deux points, inclut la droite joignant ceux-ci, faisant ainsi d’un axiome d’Euclide une propriété caractéristique de la rectilinéarité.

On démontre alors assez facilement que si une variété affine n’est pas vide, elle s’obtient en translatant un de ses points, d’ailleurs arbitraire, au moyen de tous les éléments d’un sous-espace vectoriel de E.

Ce sous-vectoriel, qui ne dépend que de la variété, est appelé le sous-espace vectoriel directeur de la variété car, dans le cas de la droite passant par deux points A,B, c’est l’ensemble des multiples du vecteur de l’unique translation appliquant A sur B, ce qu’en principe, les élèves savent être caractéristique de la direction de la droite. Il est d’ailleurs formé de tous les vecteurs directeurs des droites contenues dans la variété.

Fort de cela, on déclare qu’une variété affine \mathcal A est parallèle à une variété affine \mathcal B si son sous-espace vectoriel directeur est inclus à celui de \mathcal B.

A ce stade, le vocabulaire et les notions introduits permettent de retrouver, souvent aisément, les propriétés affines auxquelles les élèves ont été familiarisés durant leurs études secondaires.

Il y a quelques jours, lors d’un examen écrit, je demandais, entre autre : A quelle condition deux variétés affines (de même dimension) sont-elles parallèles?

A cette question, un élève a répondu : « Si une translation applique l’une sur l’autre »,
réponse tout à fait correcte et acceptée sans réserve, compte tenu de ce que je ne demandais pas explicitement la définition du parallélisme ni de prouver éventuellement sa réponse.

Mais surtout, cette réponse m’a beaucoup plu et m’a fait réfléchir.

Je me suis en particulier fait l’observation qu’il serait plus naturel dans le contexte rapidement évoqué ci-dessus, de définir le parallélisme à l’aide des translations. Non seulement ce serait conforme au parti pris de mettre les translations au centre de la construction, mais encore, cela permettrait de définir le parallélisme d’objets quelconques : un objet est parallèle à un autre si ce dernier inclut un translaté du premier et montrerait alors en quoi le parallélisme des variétés affines est singulier dans la mesure où ces objets se singularisent eux aussi en étant construits à l’aide de sous-groupes du groupe des translations.

Il me semble que cela rendrait à chaque hypothèse son rôle propre. Ainsi, la transitivité de la relation « est parallèle à » résulte immédiatement des axiomes des actions de groupe et s’étend à toutes les parties de l’espace affine, tandis que des propriétés du genre « si e est parallèle à f et le rencontre en un point au moins alors e\subset f » n’est pas vraie en général mais s’applique aux variétés affines à cause de leur structure particulière.

Bien entendu, rien de cela ne va bouleverser quoi que ce soit mais, néanmoins, c’est dit, dès l’année académique prochaine, je procèderai de la sorte. 😉

Addedum (25 janvier 2012) Ainsi dit, ainsi fait. Voici le texte(pdf) de la leçon sur le parallélisme que j’ai donnée cette année. P.L.
__________
(*) On l’appelle combinaison affine ou barycentre des points A_i, de coefficients \alpha_i. Je ne connais pas le vocabulaire permettant de désigner le vecteur obtenu lorsque la somme des coefficients est nulle.

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5 réflexions sur “Examens, étudiants et parallélisme

  1. Petite remarque : La propriété « un sous-ensemble d’un espace affine est une variété affine si, et seulement si, il contient avec tout couple de points distincts aussi la droite passant par ces deux points » se montre par un petit dessin où on divise par 2.
    Et en fait elle devient fausse si la caractéristique du corps est 2. Contre-exemple :
    La partie { (0,1), (1,1), (1,0) } de (Z/2Z)².

  2. Je ne comprend pas. J’adopte cette propriété comme définition des variétés affines. Il me serait donc difficile de la démontrer.

    Je suis d’accord avec la remarque relative à la caractéristique mais, dans le contexte dans lequel j’enseigne, elle n’est pas recevable. Je travaille sur \mathbb R sachant que ceux qui devront « aller plus avant » feront l’adaptation sans douleur — point de vue discutable mais largement culturel.

    • Une variété algébrique étant l’image réciproque d’un point par une application polynomiale, je définirais qu’une variété affine (ou sous-espace affine) est l’image réciproque d’un point par une application affine. On montre alors (si 2 différent de 0) que cette définition est équivalent avec la propriété que chaque fois qu’elle contient deux points, elle inclut la droite joignant ceux-ci.

  3. Pingback: A propos des angles d’un triangle | Blog de Pierre Lecomte

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