A propos de l’équation du second degré complexe

Dans ce billet, nous allons nous intéresser à l’angle non orienté(*) \theta que font les racines z_1,z_2 d’une équation du second degré

z^2+pz+q=0

dans laquelle p,q sont des nombres complexes.

Nous supposerons que le produit q de ces racines n’est pas nul, afin qu’aucune d’elles ne le soit.

Il est amusant de noter que c’est le « pendant multiplicatif » — on divise p^2 par 4q plutôt que de soustraire le second du premier :

(1) \lambda = \frac{p^2}{4q}

du discriminant \varrho =p^2-4q de l’équation qui va tenir le rôle principal. C’est en effet sa position dans le plan complexe qui détermine les propriétés de \theta.

Le dessin suivant résume la situation :

eqn_second_deg

On y voit ainsi que les racines de l’équation sont orthogonales le long de la médiatrice du segment [0,1], c’est-à-dire si, et seulement si

\lambda\in \frac 1 2+\mathbb R i

« A droite » de cette médiatrice, les racines forment un angle aigu qui est nul si, et seulement si, \lambda\in[1,+\infty[ . « A gauche », l’angle est obtus et il est plat si, et seulement si, \lambda\in]-\infty,0] .

Le segment [0,1] est un peu particulier. Comme j’avais proposé de le démontrer dans cet exercice, il correspond aux cas où les racines sont de même longueur. Leur angle y varie de 0 à \pi en accord avec ce que nous venons de décrire. Par exemple, il est nul lorsque \lambda=1, droit lorsque \lambda=1/2 et plat si \lambda est nul.

Dans ce dernier cas, p est nul et les racines sont opposées, formant effectivement un angle plat. Ce cas pris en considération, nous supposerons désormais p et donc \lambda non nul. Cela nous simplifiera un peu la vie pour établir ces propriétés.

Voyons comment faire.

Puisque \lambda\neq 0, il résulte de (1) que

\varrho=p^2\left(1-\frac 1 \lambda\right)

Donc \mu, étant une racine carrée de 1-1/\lambda, les racines de l’équation sont p(-1\pm \mu)/2 et(**)

\cos\theta=\frac{z_1 \cdot z_2}{|z_1||z_2|}=\frac{|p^2|(1-|\mu|^2)}{|p|^2|1-\mu^2|}=|\lambda|-|\lambda-1|

Le membre de droite de cette égalité est la différence entre les distances de \lambda à 0 et à 1. Les conclusions relatives aux valeurs de \theta sont alors faciles à tirer.

Par exemple, \cos\theta est nul, et donc(***) \theta est droit si, et seulement si, \lambda est sur a médiatrice du segment [0,1]. Par ailleurs, \cos\theta >0 si et seulement si, |\lambda|>|\lambda-1|, ce qui signifie que \lambda est « à droite » de cette médiatrice, etc.

Le cas des valeurs de \lambda situées sur le segment [0,1] est discuté dans l’exercice mentionné ci-dessus. 😉

Ajout du 24/06/2011

Il est intéressant d’observer une vue du graphe de la fonction |\lambda|-|\lambda-1|.

Sa restriction à l’axe réel :

lambda_1

corrobore bien ce que nous avons dit plus haut. Voici ensuite le graphe limité à un carré du plan complexe :

Lambda

Les deux singularités correspondent aux valeurs 0 et 1 de \lambda. On y perçoit relativement bien le profil particulier de la restriction à l’axe réel.

En ajoutant les représentations des plans horizontaux de cotes -1, 0 et 1, on visualise les différentes régions où l’angle \theta est obtus ou aigu. Les plans extrêmes sont tangents à la surface en les demi-droites le long desquelles l’angle est plat ou nul.

Lambda_3

On constate que le plan médian coupe la surface selon une droite. Cela s’explique aisément : cette droite est la partie du graphe correspondant aux \lambda\in \frac 1 2 +\mathbb R i . Pour ceux-ci, \lambda et 1-\lambda sont conjugués et ont donc même module : \lambda est sur la médiatrice de [0,1].

P.S. La seconde figure a été modifiée pour corriger une erreur du dessin original. P.L. 28/06/2011
__________
(*) Pour les notions géométriques, nous identifions \mathbb C à \mathbb R^2 muni de ses produit scalaire et orientation standards. Pour ceux-ci, le couple de nombre complexes (1,i) est une base orthonormée directe. Nous noterons u\cdot v le produit scalaire des nombres complexes u, v . Il s’exprime facilement à l’aide des opérations sur les nombres complexes. Pour rappel

u\cdot v= \frac 1 2 (u\bar v+\bar u v)

(**) Une variante de cette formule est exposée dans mon petit livre Le mathématicien et ses esclaves dont je me suis inspiré pour écrire ce billet.
(***) Par définition, \theta\in[0,\pi] .

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Une réflexion sur “A propos de l’équation du second degré complexe

  1. Plus généralement, les lignes de niveau de la surface, c’est-à-dire le lieu des points en lequel \theta a une valeur donnée, sont des branches d’hyperboles dont les foyers sont aux points 0 et 1. Les cas particuliers sur lesquels on a insisté dans le billet sont ceux pour lesquels la constante en question est -1,0 ou 1.

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