Tracer l’ellipse tangente à un triangle ou à un parallélogramme en les milieux des côtés

Supposons que votre logiciel de géométrie dynamique préféré soit capable de tracer la conique passant par cinq points donnés, si elle existe, mais qu’il ne dispose pas d’autres commandes générales relatives aux coniques.

Grâce à cette routine, vous pouvez donc tracer l’ellipse tangente en leurs milieux aux côtés d’un polygone affine régulier, pour autant qu’il possède au moins cinq sommets.

Mais comment faire pour tracer cette ellipse dans le cas d’un triangle

ellipse_2

ou d’un parallélogramme

ellipse

sachant que le logiciel possède les routines usuelles de manipulation de points, droites et cercles?

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Une réflexion sur “Tracer l’ellipse tangente à un triangle ou à un parallélogramme en les milieux des côtés

  1. Voici une solution possible.

    Pour le triangle comme pour le parallélogramme, il s’agit de construire des points supplémentaires de l’ellipse afin d’en totaliser cinq pour utiliser la routine de tracé de la conique passant par cinq points.

    Dans les deux cas, on se ramène par une affinité au cas où le polygone est régulier et l’ellipse est un cercle. Il existe une affinité qui transforme un triangle en un triangle équilatéral (ce qui revient à choisir un produit scalaire pour lequel le triangle est équilatéral); il en existe de même une qui transforme un parallélogramme en un carré. Dans les deux cas, l’affinité transforme l’ellipse en un cercle.

    Sur ces modèles, dans le cas du triangle, on voit facilement que l’ellipse et une médiane du triangle se coupent au tiers de celle-ci compté à partir du sommet et, dans le cas du parallélogramme, on calcule facilement le rapport de section d’une intersection de l’ellipse avec une diagonale par rapport à celle-ci. C’est un nombre algébrique facile à construire « à la règle et au compas », c’est-à-dire en traçant des droites et des cercles. L’un de ces rapports vaut par exemple 2\sqrt 2 + 3.

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