Une petite inégalité pour s’exercer

Il s’agit d’établir que

\sqrt{c(a-c)}+\sqrt{c(b-c)}\leq \sqrt{ab}

sachant que les nombres a,b,c sont positifs et que c est le plus petits d’entre eux(*).

__________
(*) Il s’agit d’un exercice posé à l’examen d’admission dans une Faculté des Sciences Appliquées en 1995.

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5 réactions sur “Une petite inégalité pour s’exercer

  1. Quitte à renormaliser, on peut supposer c=1.
    On veut alors \sqrt{A} + \sqrt{B} \leq \sqrt{(1+A)(1+B)}, ce qui équivaut (élever au carré) à
    (\sqrt{AB} -1)^2\geq 0, CQFD.
    On récolte au passage le cas d’égalité AB=1.

  2. Pour ma part, j’utilise l’inégalité entre moyenne arithmétique et géométrique (immédiate à vérifier) :

    \sqrt{xy}\leq\frac 1 2 (x+y)

    Il vient ainsi

    \sqrt{\frac c b (1-\frac c a)}+\sqrt{\frac c a (1-\frac c b)}\leq 1

    d’où le résultat après multiplication par \sqrt{ab}.

    C’est essentiellement la même preuve.

  3. Je n’invente rien, je récris.
    La preuve directe est donc :
    \sqrt{c(a-c)}=\sqrt{c\sqrt{a/b}\cdot\left(\sqrt{ab}-c\sqrt{b/a}\right)}\leqslant\frac12\left(c\sqrt{a/b}+\sqrt{ab}-c\sqrt{b/a}\right),
    idem avec le second radical, puis addition membre à membre.

    Marrant ! Je n’avais jamais réalisé que l’inégalité arithmético-géométrique donnait des résultats différents quand on multipliait les deux facteurs présents sous le radical l’un par un nombre et l’autre par son inverse.

    Connaissez-vous d’autres exemples où on emploie cette astuce pour que l’IAG donne des choses intéressantes ?

  4. Non, mais j’avais noté également ce phénomène étrange : l’application directe de l’inégalité arithmético-géométrique donne une borne sup plus faible que la borne proposée! Cela m’avait d’ailleurs bloqué un instant.

    Cela dit, l’étude des extrema de la fonction

    x\mapsto \sqrt{x(a-x)}+\sqrt{x(b-x)}

    quoiqu’un peu lourdeaude vu les autres approches, donne directement le résultat et, naturellement, le cas d’égalité.

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