Somme, produit et une amusante équation diophantienne

Il y a déjà un certain temps, je m’étais amusé à chercher les solutions à composantes entières et strictement positives de l’équation

(e_n) x_1+\cdots+x_n=x_1\cdots x_n

La méthode que j’avais trouvée à l’époque est récursive et ramène la résolution à celles de certaines équations de la forme

a+x+y=bxy

qui sont faciles à résoudre. Même pour n « grand », le nombre d’équations auxiliaires est « petit » au point de rendre la méthode praticable à la main pour des nombres d’inconnues considérables.

Je reviendrai peut-être à l’occasion sur cette méthode. Mon propos, ici, est de donner une surprenante propriété des solutions des équations e_n. De façon plus précise, j’appelle solution toute suite finie non décroissante d’au moins deux entiers strictement positifs dont la somme est égale au produit. Nous allons munir l’ensemble des solutions d’une opération partielle à l’aide de laquelle on peut l’engendrer à partir des solutions des équations

p+x+y=xy, \quad p\in\mathbb N

Dans la description d’une solution, il y a souvent un grand nombre de 1. Pour alléger les notations, nous noterons parfois a_b une suite de b symboles a. Ainsi, (1_{14},2_2,6) représente une solution (de e_{17}) qui compte quatorze composantes égales à 1, deux égales à 2 et une valant 6.

Compositions de solutions

Supposons que nous ayons une solution U de e_k et une solution V de e_l dont la composante v_{i_0} vaut

\sum_{1\leqslant i\leqslant k}u_i=\prod_{1\leqslant i\leqslant k}u_i

Nous pouvons alors alors fabriquer une solution U\star V de e_{k+l-1} en remplaçant la composante v_{i_0} de V par les composantes de U.

Voici deux exemples :

\left\{\begin{array}{l}(2,2)\star (1,1,2,4)=(1,1,2,2,2)\\[1ex](1_{14},2,2,6)\star (1_{22},2,24)=(1_{36},2,2,2,6)\end{array}\right.

Dans les conditions ci-dessus, nous dirons que U est composable avec V et qu’une solution de la forme U\star V est décomposable.

Propriété

Toute solution X=(1_p,x_1,\ldots,x_q) dans laquelle 1<x_1\leqslant \cdots \leqslant x_q et q>2 est décomposable.

Voyons comment vérifier cela. On observe d’abord que si x_1=x_2=2, alors

X=(2,2)\star (1_p,x_3,\ldots,4,\ldots,x_q)

ce qui nous ramène au cas où x_2>2. Si de plus, q>2, alors

(1) x_{q-1}x_q < p+x_{q-1}+x_q

Pour le voir, procédons par l’absurde. Si (1) n’est pas vérifié, alors en posant y_i=x_i pour i=1,\ldots,q-2 et y_{q-1}=p+x_{q-1}+x_q, nous avons

(2) y_1+ \cdots + y_{q-1}\geqslant y_1\cdots y_{q-1}

Or, comme

y_1>1, \quad y_2,\ldots,y_{q-2}>2 \quad \& \quad y_{q-1}>5

on a

\frac{y_1+ \cdots + y_{q-1}}{y_1\cdots y_{q-1}}\leqslant \frac{1}{3^{q-3}.6}+\frac{q-3}{2.3^{q-4}.6}+\frac{1}{2.3^{q-3}}=\frac{3q-1}{4.3^{q-2}}

Mais, pour q>2,

3q-1<4.3^{q-2}

ce qui contredit (2). Ainsi (1) est vérifié.

Posons

u=x_{q-1}x_q-x_{q-1}-x_q \quad \& \quad v=x_{q-1}x_q

Observons que u est positif car x_{q-1},x_q valent au moins 3. La propriété est alors établie car

X=(1_u,x_{q-1},x_q)\star (1_{p-u},x_1,\ldots,x_{q-2},v)

Associativité de\star

Nous venons de montrer que toute solution s’obtient en composant itérativement des solutions n’ayant que deux composantes supérieures à 1. La preuve donne même le moyen d’obtenir une telle décomposition. Elle fournit ainsi deux décompositions de (1_{14},2,2,6) :

(1_{14},2,2,6)=(2,2)\star (1_{14},4,6)=(1_4,2,6)\star (1_{10},2,12)

Voici un exemple de décomposition en trois facteurs :

(1_{36},2,2,2,6)=(2,2)\star (1_{36},2,4,6)=(2,2)\star ((1_{14},4,6)\star (1_{22},2,24))

Notez qu’on a également

(1_{36},2,2,2,6)=((2,2)\star (1_{14},4,6))\star (1_{22},2,24)

Ce n’est pas par hasard. En effet, comme vous le vérifierez aisément si le coeur vous en dit,

Si U est composable avec V et si V est composable avec W, alors U\star V est composable avec W, U est composable avec V\star W et U\star (V\star W)=(U\star V)\star W.

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