En guise d’exercice : bissectrices et triangle équilatéral

Voici un amusant petit exercice qui a été posé il y a quelque temps dans la revue Losanges de la Société Belge des Professeurs de Mathématiques d’expression française.

Les bissectrices intérieures AA', BB' et CC' d’un triangle ABC se coupent en le point I.

bissectrice1

Montrer que le triangle ABC est équilatéral si, et seulement si,

\frac{|AI|}{|IA'|}=\frac{|BI|}{|IB'|}=\frac{|CI|}{|IC'|}

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2 réflexions sur “En guise d’exercice : bissectrices et triangle équilatéral

  1. Notons a,b,c les longueurs BC, AC, AB. Il est connu que I est le barycentre de (A,a) & (B,b) & (C,c) et que A’ est celui de (B,b) & (C,c). (Pour le montrer, écrire les aires AA’B et AA’C de deux manières différentes)
    Notons r le rapport commun. Alors I est barycentre de (A,r) & (A’,1), donc de (A,r(b+c)) & (B,b) & (C,c). En comparant avec les coordonnées barycentriques (a,b,c), on obtient a = r (b+c), d’où a+ra constant (lorsque a devient b ou c), CQFD.

  2. Voilà! Le challenge n’aura pas duré bien longtemps… Bravo!

    Je procède un peu différemment, en utilisant un fait établi ici (voir l’énoncé (3) et, surtout, sa « conséquence amusante » un peu plus bas) — dans cet article, on réobtient d’ailleurs les coordonnées barycentriques de I.

    L’avantage de ma méthode, s’il y en a un, est qu’avec un peu de précaution, on peut étendre la propriété énoncée ici à d’autres points remarquables du triangle.

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