Triangles, aires et coordonnées barycentriques

La question, rapportée par un de mes étudiants fraîchement sorti du secondaire, est de savoir si, dans un triangle $ABC$ de centre de gravité $G$ , les triangles $ABG,AGC$ et $GBC$ ont même aire. La réponse est oui, et on peut en donner plusieurs vérifications, de la plus élémentaire à la plus sophistiquée. J’en propose trois, ci-dessous. Les deux premières répondent strictement à la question. L’une est rapide mais difficile et l’autre est élémentaire. La dernière repose sur une information générale qui explique bien, et facilement, l’origine du résultat.

Une première réponse, sophistiquée

L’argument suivant repose sur les propriétés des affinités et sur l’observation, banale, que dans le cas d’un triangle équilatéral $\Delta_0 = A_0B_0C_0$ les aires des triangles considérés sont évidemment égales. Considérons donc un triangle $\Delta = ABC$ . Il existe une affinité transformant $A_0,B_0,C_0$ en $A,B,C$ respectivement. Elle transforme le centre de gravité $G_0$ de $\Delta_0$ en le centre de gravité $G$ de $\Delta$ . Elle transforme donc les triangles $A_0B_0G_0$ , etc. en leurs homologues $ABG$ , etc. En général, une affinité ne conserve pas les aires. Elle conserve par contre les rapports entre deux aires. En particulier, deux figures de même aire sont transformées en deux figures d’aires égales. D’où la conclusion : les aires des triangles $ABG,AGC$ et $GBC$ sont égales comme le sont les aires des triangles dont ils sont les images.

Une deuxième réponse, élémentaire

Avec les notations de la figure ci-dessus, les hauteurs $|AH|$ et $|PH'|$ des triangles $ABC$ et $PBC$ sont entre elles comme $|AA'|$ et $|PA'|$ car les triangles $AA'H$ et $PA'H'$ sont semblables. Les aires des triangles $ABC$ et $P BC$ sont donc également entre elles comme $|AA'|$ et $|P A'|$ . Lorsque $P$ est le centre de gravité $G$ du triangle $ABC$ , cela montre que l’aire de $PBC$ est égale au tiers de l’aire de $ABC$ . Les aires des triangles $ABG$ , etc. sont donc égales.

La dernière réponse: explications

Nous allons utiliser la notion de coordonnées barycentriques. Pour rappel, les coordonnées barycentriques $(\alpha, \beta, \gamma)$ d’un point $P$ par rapport à un triangle $ABC$ sont des nombres tels que $\alpha+\beta+\gamma = 1$ et

$\alpha\overrightarrow{PA} + \beta\overrightarrow{PB} + \gamma\overrightarrow{PC} = 0$

Etant donné un point $S$ , quelconque, on obtient $P$ à partir de ses coordonnées barycentriques en faisant subir à $S$ la translation de vecteur

$\alpha\overrightarrow{SA} + \beta\overrightarrow{SB} + \gamma\overrightarrow{SC}$

Les coordonnées barycentriques de $P$ peuvent être calculées en terme de rapports d’aires orientées. En désignant par $\mathscr{A}(e)$ l’aire orientée d’un ensemble $e$ , il vient

Les coordonnées barycentriques $(\alpha, \beta, \gamma)$ d’un point $P$ par rapport à un triangle $ABC$ sont les rapports

$\alpha = \frac{\mathscr{A}(PBC)}{\mathscr{A}(ABC)}, \beta = \frac{\mathscr{A}(APC)}{\mathscr{A}(ABC)}, \gamma = \frac{\mathscr{A}(ABP)}{\mathscr{A}(ABC)}$

des aires orientées des triangles $PBC,APC,ABP$ à celle du triangle $ABC$ .

Cette propriété résout immédiatement notre question initiale car les coordonnées barycentriques du centre de gravité d’un triangle par rapport à celui-ci sont $(1/3,1/3,1/3)$ .

J’avoue, un peu honteux, avoir ignoré relativement longtemps cette propriété — à présent , ce n’est guère possible, en googlant avec les mots clés coordonnées barycentriques, on obtient facilement des pages web où cela vous est rappelé dès les premiers paragraphes. Une raison est sans doute que la notion d’aire, orientée ou non, n’est pas affine — comme dit plus haut, seuls les rapports de deux aires sont conservés par affinités — et je n’étais donc pas enclin à faire le rapprochement.

Le statut de la notion d’aire en géométrie élémentaire n’est d’ailleurs pas très clair, au niveau de l’enseignement secondaire, voire en début d’études universitaires. On aurait plutôt tendance à la ranger au rayon des notions métriques, ce qu’elle n’est pas. S’il est vrai qu’une métrique définit une mesure canonique, il n’est pas nécessaire d’avoir d’un produit scalaire pour disposer d’une notion d’aire.

Une façon de voir les choses est de comparer les groupes d’invariance associés à chaque structure. En dimension $n$ , celui d’une métrique est le groupe des isométries, plus exactement celui, $O(n)$ , des matrices orthogonales de dimension $n$ . Celui de la structure affine est le groupe linéaire général $GL(n,\mathbb R)$ . Pour les aires, volumes, etc. il s’agit du groupe unimodulaire(*), formé des matrices carrées de déterminant égal à $\pm 1$ . Il est strictement intercalé entre les deux précédents :

$O(n)\varsubsetneq UM(n,\mathbb R)\varsubsetneq GL(n,\mathbb R)$

ce qui explique que toute métrique définit une structure unimodulaire(**) mais qu’une telle structure ne provient pas canoniquement d’une métrique ni n’est préservée par toutes les affinités de l’espace affine sur lequel elle est définie.

Les choses sont parfois un peu compliquées…

😉

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(*) Certains réservent ce nom au groupe $SL(n,\mathbb R)$ des matrices de déterminant égal à 1 qui est le groupe de structure permettant de définir des aires, volumes, etc. orientés. Je ne connais pas de notation officielle pour le groupe dont je parle ici. Nous le noterons donc, de façon purement ponctuelle et locale, $UM(n,\mathbb R)$ .
(**) C’est le mot que j’utilise pour la notion d’aire, volume, etc. en dimension quelconque.