Triangles acutangles : une caractérisation

Voici un amusant petit résultat que je vous propose en guise d’exercice. Il m’a été bien utile à l’occasion.

Montrer que

Les triangles acutangles sont exactement les sections planes d’un trièdre tri-rectangle.

acutangle

Sur cette figure, les angles en S sont droits. Le triangle ABC ayant ses sommets sur les côtés du trièdre, a ses angles aigus. Réciproquement, si les angles d’un triangle A'B'C' sont aigus, alors on peut le déplacer de façon à placer A',B',C' sur les demi-droites SA,SB,SC.

5 réflexions sur “Triangles acutangles : une caractérisation

  1. Un triangle de côtés a, b, c est acutangle si et seulement si c^2\le a^2+b^2, a^2\le b^2+c^2 et b^2\le c^2+a^2,

    On cherche des points A=(x,0,0), B=(0,y,0) et C=(0,0,z) avec x, y, z positifs tels que le triangle ABC ait pour côtés a, b, c. Ceci équivaut à x^2+y^2=c^2, etc., En additionnant les trois équations on obtient x^2+y^2+z^2=(a^2+b^2+c^2)/2 puis en retranchant chacune des trois premières équations on trouve z^2=(a^2+b^2-c^2)/2, etc. ce qui donne une et une solution.

    La réciproque est simple : si A=(x,0,0), B=(0,y,0) et C=(0,0,z) alors \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=x^2\ge 0, etc.

  2. Pingback: facebook likes

  3. Hello There. I found your blog using msn. This is a really well written article. I’ll make sure to bookmark it and return to read more of your useful info. Thanks for the post. I will certainly return.

Laisser un commentaire

Entrez vos coordonnées ci-dessous ou cliquez sur une icône pour vous connecter:

Logo WordPress.com

Vous commentez à l'aide de votre compte WordPress.com. Déconnexion / Changer )

Image Twitter

Vous commentez à l'aide de votre compte Twitter. Déconnexion / Changer )

Photo Facebook

Vous commentez à l'aide de votre compte Facebook. Déconnexion / Changer )

Photo Google+

Vous commentez à l'aide de votre compte Google+. Déconnexion / Changer )

Connexion à %s