Triangle et projection orthogonale : les triangles auto-projetants II

Ce billet est la suite du précédent dont j’adopte les notations.

Les principaux faits que nous allons mettre en évidence sont bien résumés sur le dessin suivant.

triangle_3

Tout d’abord, les deux triangles auto-projetants sont homologiques car leurs côtés sont parallèles deux à deux. D’après le théorème de Desargues, les droites A_+A_-, B_+B_-, C_+C_- ont un point en commun. Et, de fait, à l’aide des formules (1) et (2) du billet précédent, on constate facilement que

(a) Le point L dont les coordonnées barycentriques
relativement au triangle ABC sont

\left(\frac{a^2}{a^2+b^2+c^2},\frac{b^2}{a^2+b^2+c^2},\frac{c^2}{a^2+b^2+c^2}\right)

est le milieu des segments [A_+,A_-], [B_+,B_-], [C_+,C_-].

Ensuite,

(b) Les sommets des triangles auto-projetants sont situés sur un cercle de centre L.

Ceci résulte de ce que

(c) Les parallèles aux côtés du triangles ABC menées par L sont les médiatrices des triangles auto-projetants.

Vérifions par exemple que la parallèle à AC menée par L est une médiatrice des deux triangles auto-projetants. Un point quelconque de cette droite s’écrit

L+t\overrightarrow{AC}=(\frac{\mu}{2}-t)A+\frac{\nu}{2}B+(\frac{\lambda}{2}+t)C

Ses intersections avec BC et AB sont les points

\frac{\nu}{2}B+(1-\frac{\nu}{2})C \quad \& \quad (1-\frac{\nu}{2})A+\frac{\nu}{2}B

D’après les formules (1) et (2) du billet précédent, il s’agit du milieu de [C,C_+] et de celui de [A,A_-], ce qui prouve (c).

Construction des triangles auto-projetants

Vu ce qui précède, on pourra très facilement construire les deux triangles auto-projetants dès qu’on saura construire le point L.

Il se fait que c’est un point célèbre mais, ne disposant que de ses coordonnées barycentriques, je ne l’ai pas reconnu tout de suite. Je vais vous raconter comment je l’ai identifié car c’est amusant et instructif.

Il existe quantité de points remarquables associés à un triangle et Clark Kimberling en a recensés plus de trois mille qu’il a regroupés ici : Encyclopedia of Triangle centers. Ce site dispose d’un moteur de recherche original qui permet de tester si un point de coordonnées barycentriques connues figure dans l’encyclopédie et de l’identifier le cas échéant. Il faut pour cela faire des calculs pour un triangle pour lequel (a,b,c)=(6,9,13). Ces calculs attribuent un score au point à identifier. Les scores des points répertoriés dans l’encyclopédie sont listés par valeurs croissantes et une simple comparaison du score calculé avec ceux de la liste permet de trancher.

Le score de L est 0,992908495065669825. Il figure dans la liste et correspond au point X(6) de l’encyclopédie. On l’appelle point de Lemoine du triangle. C’est l’intersection des symédianes, c’est-à-dire des symétriques des médianes par rapport aux bissectrices intérieures du triangle. Il est donc très facile à construire, de même dès lors que les triangles auto-projetants, ce qui m’a permis d’illustrer ce billet et le précédent…

😉

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12 réactions sur “Triangle et projection orthogonale : les triangles auto-projetants II

  1. Aussi chouette, aussi chouette…
    Avec le point de Lemoine, un premier doigt est mis dans l’engrenage de la triangologie, qui est une secte. Bientôt, il faudra faire du porte à porte pour fourguer aux honnêtes citoyens des brochures pieuses ou des fleurs de Bach.
    Bon, j’exagère, mais les 3000 points de Kimberling me donnent des boutons. Pourtant, le problème de PB avait une bonne tête…
    😦

    • Mais non, mais non! On ne m’aura pas avec la triangologie! Par contre, grâce à la compilation de Kimberling, j’ai pu non seulement identifier le point L, ce qui en soi n’est pas important s’il s’agit seulement de le nommer, mais surtout le construire et donc atteindre mon objectif initial : construire les triangles dont l’existence est établie par PB, ce qui n’était pas trivial, de prime abord. 😉

  2. Vraiment très intéressant ! Je suppose que le rayon du cercle circonscrit commun à vos deux triangles auto-projetants a une valeur bien particulière … L’avez vous calculée ? J’ai aussi l’impression que les céviennes AC+, BA+ et CB+, et AB-, BC- et CA- sont 3 à 3 concourantes, cela ne devrait pas être difficile à démontrer …
    Cette (nouvelle ?) propriété du point de Lemoine peut-elle être rattachée à ses propriétés connues ?
    Et ces 6 points particuliers, ont-ils d’autres propriétés ?
    Je suppose qu’en presque 6 ans, vous avez eu le temps d’étudier tout cela, et de publier vos résultats, n’est-ce pas ?
    Ou était-ce déjà connu ?
    Bien cordialement

    • Bonjour! Merci beaucoup pour votre commentaire et les belles questions que vous posez! Je n’ai pas toutes les réponses car, contrairement à ce que vous supposez et à ce que laisse entendre mon commentaire ci-dessus, je n’ai plus jamais regardé la question.
      Cela dit, je viens de rapidement faire le calcul des rapports de sections des pieds des céviennes que vous considérez par rapport aux côtés auxquels ils appartiennent en vue d’appliquer le théorème de Ceva. C’est facile à faire à l’aide des formules que j’ai obtenues dans le premier billet consacré aux triangles auto-projetant. Le verdict est que ces céviennes ne sont généralement pas concourantes (à condition que je ne me sois pas trompé dans ces calculs rapidement menés). Les mêmes données permettent de calculer la longueur du segment [A_+,A_-] et donc le rayon à propos duquel vous vous intéressez. Je n’ai pas fait ces calculs à l’instant mais ils ne devraient pas être terriblement compliqués. Pour le reste, je ne connais pas bien les propriétés du point de Lemoine et j’aurais donc des difficultés à répondre à vos autres interrogations.

      Bien cordialement.

      • Bonjour et merci de votre réponse !
        Une autre question m’est venue à l’esprit : ces triangles auto-projetants sont-ils les triangles limites d’une application itérative associant un point quelconque d’un côté quelconque d’un triangle quelconque à ses projections successives sur les deux autres côtés ? En d’autres termes, si on prend un point quelconque P sur le côté AB d’un triangle ABC, on le projette en P1+ sur le côté BC (en admettant que les points A, B et C soient ordonnés dans le sens trigonométrique sur le cercle circonscrit), puis on projette P1+ en P2+ sur le côté CA, puis P2+ en P3+ sur le côté AC, et ainsi de suite … Je conjecture que l’on aboutit ainsi au triangle auto-projetant positif. Je regarderai cela dès que possible, mais si vous pouvez le faire dans l’entre-temps …
        J’aimerais vous faire parvenir un petit travail que j’ai effectué il y a quelque temps déjà, sur un problème du même type : j’ai démontré, entre autres, que lorsqu’on applique de manière itérative à un polygone inscrit dans un cercle une transformation qui transforme les sommets du polygone en les milieux des arcs découpés par ces sommets sur le cercle circonscrit, on aboutit de manière asymptotique au polygone régulier correspondant. Pourrais-je vous envoyer ces documents, pour que vous jugiez de leur originalité et de leur intérêt, et que vous les publiiez sur votre site si vous les en estimez dignes ?
        Bien cordialement
        Jean-Louis Breuil (alias jelobreuil)

  3. Pour répondre à votre première question, il est fort possible que vous ayez raison car les sommets des triangles auto-projetants sont des points fixes de la composée des projections orthogonales sur les côtés. Les points fixes d’une application s’obtiennent souvent comme limite de la suite des itérés de l’application agissant sur un premier point. Mais je n’ai rien vérifié.

    Vous pouvez m’envoyer votre travail (par mail ou par courrier ordinaire). Au minimum, je le lirai.

    Bien cordialement.

  4. Bonsoir Monsieur Lecomte,
    Je viens de vérifier, avec Geogebra, qu’en faisant une itération de la projection d’un point d »un côté d’un triangle sur les autres côtés de ce triangle, on obtient bien un triangle limite, et je crois avoir compris pourquoi, en faisant la manip sur un couple de points : à chaque itération, la distance entre les deux points images est égale à la distance des deux points de départ, multipliée par le cosinus d’un angle du triangle. Donc les deux points images vont se rapprocher l’un de l’autre asymptotiquement jusqu’à (presque) se confondre, et on retombera, quelles que soient les positions des deux points de départ sur leur côté, sur le même triangle limite. Et comme ce raisonnement, peut tout aussi bien s’appliquer dans le cas où l’on considère comme points de départ un point P initial et le point image P3 obtenu au bout de trois projections sur les côtés, appartenant donc au même côté que P …
    Reste à savoir ce que vient faire le point de Lemoine dans cette affaire !

    Je vous transmettrai prochainement les figures que j’ai faites, ainsi que les documents concernant mon petit travail qui, vous le verrez, présente une certaine similitude avec ce sujet-ci.

    Bonne soirée, et bon week-end
    Bien cordialement

    • Vous confirmez donc ce que je disais car, comme vous le verrez dans le premier article consacré aux fameux triangles, l’affinité utilisée par PB pour prouver leur existence est une contraction dont le rapport est le produit des cosinus des angles du triangle. 😉

      • Bonjour, Monsieur Lecomte,
        Je viens de relire votre premier article sur le sujet, que je n’avais que survolé lors de ma première visite, car je dois vous avouer que je n’ai, pour le moment, que de très vagues souvenirs de la géométrie vue sous l’aspect des transformations … et donc que la démonstration qu’a donnée PB de l’existence de ces triangles auto-projetants reste assez hermétique pour moi, car je ne connais pas les bases fondamentales de son raisonnement.
        C’est donc au moyen de calculs rudimentaires que j’ai pu entrevoir l’existence et l’unicité de chacun de ces deux triangles, calculs dans lesquels intervient effectivement le produit des trois cosinus du triangle initial. Bien entendu, je vous enverrai ces calculs, une fois que je les aurai mis au propre !
        bien cordialement
        Jean-Louis Breuil

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