Sur les parallèles aux côtés d’un triangle

On l’a vu dans le billet précédent, les sommets des triangles auto-projetants d’un triangle sont les symétriques de ses sommets par rapport aux intersections avec les côtés du triangle des parallèles à ceux-ci menées par son point de Lemoine. De plus, les sommets des triangles auto-projetants sont cocycliques.

Il s’agit en fait d’une manifestation particulière d’un phénomène affine général lié aux parallèles aux côtés d’un triangle(*). Comme l’illustre la figure qui suit,

(1) Si des parallèles aux côtés d’un triangle, distinctes de ceux-ci, les coupent selon six points, ils appartiennent à une conique.

parallele_1

Il est facile de préciser la nature de la conique en question. Avec les notations de la figure, désignons par \alpha,\beta,\gamma les abscisses affines des points P,Q,R par rapport au côté du triangle auquel ils appartiennent, de sorte que

P=(1-\alpha)C+\alpha A,\quad Q=(1-\beta)A+\beta B \quad \& \quad R=(1-\gamma)B+\gamma C.

Nous dirons que (\alpha,\beta,\gamma) est la position des parallèles données.

Cela posé,

La conique passant par les points P,P',Q,Q',R,R' est alors une ellipse, une parabole ou une hyperbole selon que

2(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)-(\alpha^2+\beta^2+\gamma^2)

est positif, nul ou négatif.

Par exemple, c’est une parabole lorsque la position est (1/2,1/8,1/8). En voici une illustration :

parallele_2

Un second exemple provient d’une sorte de billard associé au triangle. On part d’un point d’un côté puis les réflexions se font en suivant des parallèles aux côtés du triangle, comme suggéré sur ce dessin :

parallele_4

dans lequel le point de départ est D et une partie de la trajectoire est représentée en vert.

Toutes les orbites son fermées. On constate en effet facilement que DI est parallèle à AB. En général, elles comptent six points, qui sont les intersections des côtés du triangle avec des parallèles à ses côtés et qui sont donc situés sur une conique. En l’occurence, c’est une ellipse car la position des parallèles en question est de la forme (\alpha,\alpha,\alpha).

Une orbite peut compter moins de points, ce qui arrive si le point de départ est un sommet ou le milieu d’un côté, situations qui relèvent des cas limites décrits ci-dessous.

Cas limites

Voyons ce qu’il advient de l’énoncé (1) lorsque les parallèles coupent les côtés du triangle en moins de six points.

Quand une parallèle à un côté passe par le sommet opposé, les deux points en lesquels elle coupe les autres côtés sont confondus et les six points considérés se réduisent à cinq. Le fait qu’ils soient sur une même conique est une banalité. Il se fait, ce qui n’est pas banal, que celle-ci est tangente à la parallèle en question.

De même, il se peut que les deux points en lesquels les parallèles coupent un même côté soient confondus. La conique passant par les cinq points restants est alors tangente à ce côté.

Les deux phénomènes peuvent coexister ou se présenter pour plus d’une parallèle et plus d’un côté. Il y a alors moins de cinq points auxquels on impose d’appartenir à une conique, et une infinité de coniques répondant à la question. Mais dans chaque cas, il y en a une seule qui passe par les points considérés et qui est tangente aux parallèles passant par un sommet ou aux côtés coupés en un seul point.

Voici un exemple, dans lequel la parallèle à AB passe par C (i.e. \gamma=1) et les parallèles aux deux autres côtés coupent AB en Q=P' (i. e. \alpha+\beta=1) :

parallele_3

Lorsque P=R', Q=P' et R=Q', ce sont les milieux des côtés et la conique est une ellipse : l’ellipse de Steiner du triangle ABC.

Lorsque la position des parallèles est (1,1,1), les sommets A,B,C sont les milieux des côtés du triangle qu’elles forment et la conique est l’ellipse de Steiner de celui-ci.

Les symétriques de A par rapport à Q,R', de B par rapport à R,P' et de C par rapport à P,Q' sont sur trois parallèles aux côtés de ABC correspondant aux abscisses affines 2\alpha,2\beta,2\gamma. Ils sont donc, en général, sur une conique de même nature que celle passant par P,P',Q,Q',R,R'.

On pouvait donc prédire que les sommets des triangles auto-projetants se trouvent sur un même conique sans pour autant préciser, cela dit, qu’il s’agit cercle.

😉

__________
(*) Les preuves des affirmations qui suivent sont aisées. Je les omets.

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