Sur les parallèles aux côtés d’un triangle II : une généralisation

Je ne résiste pas à la tentation de vous montrer la figure suivante car je la trouve assez jolie.

pascal

C’est en pensant aux coniques déterminées par des parallèles aux côtés d’un triangle que j’en suis venu à la tracer. Elle illustre une généralisation de la propriété (1) du billet en question. Tout est très élémentaire et résulte d’une application immédiate du théorème de l’hexagramme mystique de Pascal mais cela a au moins l’avantage de fournir un éclairage particulier à une propriété des triangles auto-projetants.

La situation est celle-ci. Une droite \mathscr D coupe les côtés d’un triangle ABC en des points P_0,Q_0,R_0. Par chacun de ceux-ci, on mène une droite qui coupe les côtés auxquels il n’appartient pas en deux points, obtenant au total six points P,P',Q,Q',R,R' situés sur une même conique.

Lorsque \mathscr D est la droite impropre du plan du triangle, P_0,Q_0,R_0 sont les directions de ses côtés et la propriété se ramène à l’énoncé (1) du billet précédent.

Voici la preuve. Les points P,Q,R,P',Q' sont sur une même conique. Manifestement, R' forme avec eux un hexagone dont \mathscr D est la droite de Pascal et est donc situé sur la conique en question, la droite PQ_0 coupant la conique en un point en lequel elle est aussi coupée par RR_0.

4 réflexions sur “Sur les parallèles aux côtés d’un triangle II : une généralisation

  1. Il y a une manière plus élégante de formuler la propriété décrite dans le billet qui la rend pratiquement équivalente au théorème de Pascal (et qui, de plus, évite toute dérive triangologique ;-)). Formulée dans un plan projectif, elle est illustrée par la figure ci-dessous

    pascal_2

    et s’énonce comme suit.

    Soient des points alignés P_0,Q_0,R_0. On suppose que des droites \mathcal P_1,\mathcal P_2 passent par P_0, des droites \mathcal Q_1,\mathcal Q_2 passent par Q_0 et des droites \mathcal R_1,\mathcal R_2 passent par R_0. Les intersections de \mathcal P_2 avec \mathcal Q_1,\mathcal R_1, de \mathcal Q_2 avec \mathcal R_1,\mathcal P_1 et de \mathcal R_2 avec \mathcal P_1,\mathcal Q_1 sont situées sur une même conique.

  2. C’est, si je ne me trompe pas, la réciproque du théorème de Pascal.
    Les (magnifiques !) figures, c’est du TikZ exporté de Geogebra et retravaillé ?

    P.

  3. C’est effectivement une réciproque du théorème de Pascal…grâce à laquelle, je suppose, les logiciels de géométrie dynamique tracent des coniques avec une simplicité confondante (c’est du moins ce que je fais croire à mes étudiants).

    Il est amusant que vous me posiez la question du logiciel utilisé alors que, en fin d’après-midi, je commençais à rédiger un billet sur ce sujet. Je viens de l’achever et vais le publier à l’instant.

    🙂

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