Espaces affines et polynômes

Dans un article consacré à certaines représentations affines de l’algèbre de Lie des champs de vecteurs d’une variété(*), Sarah Hansoul et moi avons été amenés à utiliser la notion de polynômes sur un espace affine dans le cas d’espaces de dimension infinie.

Pour introduire cette notion, nous ne pouvions réellement utiliser des bases car nous devions contrôler, dans les applications, le caractère différentiable des objets manipulés et il ne nous semblait pas évident que cela puisse se faire avec des changements de bases de dimension infinies.

Nous nous sommes inspirés de la manière dont Henri Cartan introduit les polynômes sur des espaces vectoriels dans son ouvrage Calcul Différentiel(**). Chose surprenante — du moins pour moi qui n’ai guère d’expérience en algèbre — les espaces de polynômes sur un espace affine ne sont pas gradués mais seulement filtrés par le degré. C’est une des raisons pour lesquelles j’écris ce petit billet.

Les considérations qui suivent s’appliquent à des espaces affines et des espaces vectoriels sur un corps de caractéristique nulle, disons \mathbb K.

Applications multilinéaires symétriques

Notons \mathscr{S}_k(\mathbf{A},\mathbf{B}) l’espace des applications k-linéaires symétriques d’un espace vectoriel \mathbf A à valeurs dans un espace vectoriel \mathbf B. A tout p\in\mathscr{S}_k(\mathbf{A},\mathbf{B}), on associe une application, notée \hat p:\mathbf A \to \mathbf B, en posant

\forall u\in\mathbf A,\quad \hat p(u)=p(u,\ldots,u)

Le lemme suivant est la clé de ce qui suit.

L’application p\mapsto \hat p est injective.

Nous allons le vérifier par récurrence sur k. On en trouvera une autre preuve, plus classique, dans le livre de Henri Cartan cité plus haut. Je me contente d’expliquer la phase d’induction, le cas de base étant évident. Supposons donc l’application injective pour les valeurs de k moindres que l et supposons que p\in\mathscr{S}_l(\mathbf{A},\mathbf{B}) vérifie

\forall u\in\mathbf A, \quad p(u,\ldots,u)=0

Alors, en utilisant la multilinéarité de p et le fait qu’il soit symétrique, il vient (c’est la formule du binôme de Newton!)

\hat p(u+tv)=\sum_{i=0}^l{ l \choose i}t^ip(u,\ldots,u,\underbrace{v,\ldots, v}_i)=0

pour tous u,v\in \mathbf A et tout t\in\mathbb K. En particularisant cette relation pour l+1 valeurs distinctes de t, on en déduit que les coefficients des puissances de t y sont nuls. En particulier, p(u,\ldots,u,v)=0 pour tous u,v\in \mathbf A. Par suite, vu l’hypothèse de récurrence, p=0 et le lemme est prouvé.

Polynômes sur un espace affine

Soit un espace affine \mathscr A modelé sur \mathbf A. Nous dirons qu’une application p:\mathscr A\to\mathbf B est un polynôme de degré inférieur ou égal à k (à valeurs dans \mathbf B) s’il existe un point a_0 de \mathscr A et des p_i\in\mathscr{S}_i(\mathbf A,\mathbf B), i=0,\ldots,k, tels que

(1) \forall u\in\mathbf A,\quad p(a_0+u)=\sum_{i=0}^k\frac{1}{i!}\hat p_i(u)

Les applications p_i ne dépendent alors que de p et du point a_0(***). Nous dirons que ce sont les composantes de p relatives à a_0.

Le fait, pour p, d’être un polynôme sur \mathscr A est indépendant du point a_0 utilisé pour le formuler. En effet, un calcul simple permet de voir que si a_0'\in\mathscr A, alors, p vérifiant (1), il vient

\forall u\in\mathbf A,\quad p(a_0'+u)=\sum_{i=0}^k\frac{1}{i!}\hat q_i(u)

(2) q_j(u_1,\ldots,u_j)=\sum\limits_{i\geqslant j}\frac{1}{(i-j)!}p_i(a_0'-a_0,\ldots,a_0'-a_0,u_1,\ldots,u_j)

La suite des espaces vectoriels \mathscr P^k(\mathscr A,\mathbf B) des polynômes de degré au plus k de \mathscr A dans \mathbf B est donc une filtration croissante. Sa limite \mathscr P(\mathscr A,\mathbf B) est l’espace des polynômes sur \mathscr A à valeurs dans \mathbf B.

Il résulte de la formule (2) que p_k=q_k : la composante dominante de p relative à un point est la même pour tous les points de \mathscr A. Nous la noterons \sigma_k(p). La filtration de \mathscr P(\mathscr A,\mathbf B) nous donne ainsi des courtes suites exactes d’espaces vectoriels

0\to \mathscr P^{k-1}(\mathscr A,\mathbf B)\to \mathscr P^k(\mathscr A,\mathbf B)\stackrel{\sigma_k}{\to}\mathscr S_k(\mathbf A,\mathbf B)\to 0

Par définition de \mathscr P(\mathscr A,\mathbf B), chaque point de \mathscr A fournit une scission de chacune d’elle mais ces suites ne sont pas canoniquement scindées : \mathscr P(\mathscr A,\mathbf B) ne coïncide pas avec son espace gradué associé

\mathscr S(\mathbf A,\mathbf B)=\bigoplus_{k\in\mathbb N}\mathscr S_k(\mathbf A,\mathbf B)

qui, selon la définition proposée dans le livre de Henri Cartan, est l’espace des applications polynomiales de \mathbf A dans \mathbf B.

__________
(*) Affine Representations of Lie Algebras and Geometric Interpretation in the Case of Smooth Manifolds, IMRN 2005, 16, 981—1003.
(**) Collection Méthodes, Hermann, Paris, 1967.
(***) En considérant k+1 valeurs t_j\in \mathbb K, on obtient un système d’équations

\sum_{i=0}^k\frac{1}{i!}t_j^i\hat p_i(u)=p(a_0+t_ju)

qui permet de calculer les \hat p_i(u) en terme des p(a_0+t_ju) par la méthode du pivot; on applique le lemme pour conclure.

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8 réflexions sur “Espaces affines et polynômes

  1. « les espaces de polynômes sur un espace affine ne sont pas gradués mais seulement filtrés par le degré »

    Au cas où un lecteur chercherait une explication compréhensible pour un lycéen : considérons la fonction de R dans R définie par f(x)=x=(x-1)+1. Lorsqu’on prend 0 comme origine, sa composante de degré 0 est nulle, alors que lorsqu’on prend 1 comme origine, sa composante de degré 0 vaut 1.

  2. Merci pour cet exemple!

    Cela dit, désolé, mais je ne songeais effectivement pas à ce public! 😉 D’ailleurs, je ne pense pas que les espaces affines soient étudiés par les lycéens (c’est certain en Belgique, je ne sais pas en France).

    Par ailleurs, je trouve difficile de donner des exemples d’espaces affines de dimension finie qui ne soient pas des vectoriels plus ou moins déguisés. Dans l’article cité, nous utilisons essentiellement l’espace des connexions linéaires d’une variété et certains de ses sous-espaces, de dimension infinie. Il n’ont pas de point base privilégié. Pas plus que ceux associés aux classes de cohomologie d’une algèbre de Lie qui, eux, pourraient donner des exemples non triviaux de dimension finie mais ne sont pas très montrables non plus au lycée…

  3. « Par ailleurs, je trouve difficile de donner des exemples d’espaces affines de dimension finie qui ne soient pas des vectoriels plus ou moins déguisés.  »

    J’irai même plus loin et je dirai qu’il n’y pas de distinction entre géométrie vectorielle et géométrie affine. Je pense que si on a compris l’un on a aussi compris l’autre. Rajouter à Ax un B pour avoir Ax+B ou fixer un point comme origine ne change pas le monde. Je n’ai jamais compris la raison d’être d’un cours intitulé « géométrie affine » 😉

    • Je suis assez indécis sur cette question. Dans l’exemple des connexions, lorsqu’on laisse agir l’algèbre de Lie des champs de vecteurs sur les polynômes à valeurs dans certaines représentations, on a vraiment une différence entre l’espace filtré et l’espace gradué. Là, la distinction entre espace affine et vectoriel semble jouer pleinement. C’est également le cas pour les représentations affines des algèbres de Lie et leur cohomologie — pour le peu que j’en sache. D’ailleurs, une généralisation des espaces affines est la notion de torseur qui relève de la théorie des catégories; je ne connais pas en profondeur mais cela ne me semble pas être trivial.

  4. Au niveau Licence, il y a bien des espaces affines qui apparaissent naturellement :

    1) L’ensemble des solutions d’un système d’équations linéaires avec second membre
    2) L’ensemble des solutions d’un système d’équations différentielles linéaires avec second membre.

    Sinon, pour justifier la notion de géométrie affine : le monde qui nous entoure est modélisé en première approximation par un espace affine Euclidien de dimension 3. Il n’y a pas d’origine privilégiée (à moins de croire qu’on se trouve au centre du monde). La géométrie affine consiste à étudier les constructions qui ne dépendent pas du choix de l’origine, c’est-à-dire qui sont invariantes par le groupe affine.

  5. Merci pour ce commentaire qui, en ce qui me concerne, remet un peu l’église au milieu du village.

    L’exemple des solutions d’un système d’équations linéaires non homogène est satisfaisant mais en l’évoquant, j’ai toujours un peu l’impression que c’est un exemple « artificiel », dans la mesure où il est d’emblée dans un espace vectoriel. Cela dit, on peut réaliser tout espace affine comme cela, de sorte que c’est sans doute une mauvaise impression.

    L’exemple de l’application à la physique est très probant et, rien que pour lui, je trouve la notion d’espace affine pleinement pertinente.

  6. « La géométrie affine consiste à étudier les constructions qui ne dépendent pas du choix de l’origine, c’est-à-dire qui sont invariantes par le groupe affine. »

    Oui, je sais bien que véctoriel n’est pas affine. Je disais seulement que « fixer un point comme origine ne change pas le monde ». Les physiciens travaillent très souvent dans R^n (Arnold le fait tout au long de son livre « Méthodes mathématiques pour la physique ».)
    Les deux notions d’espace affine et d’espace vectoriel me semblent tellement proches et liées que je ne vois pas d’intérêt de les séparer en deux enseignements différents (ça serait comme vouloir faire des théories d’arithmétique distinctes sur Q[X] et sur Z[X]). Tu rajoutes une dimension à l’espace affine (ou tu fixes un point) et tu as un espace vectoriel; tu translates un sous-espace vetoriel et tu as un espace affine.
    Si on regarde une notion typiquement affine, comme celle des barycentres, puis les preuves de certaines propriétés de barycentres on s’en rend vite compte que la moitié du temps on fait du vectoriel.

  7. Je ne sais pas pourquoi ces pauvres espaces affines s’attirent tant de dédains 😉

    Je parlais plus haut de torseur. Les plus élémentaires sont simplement des actions libtres et transitives de groupes. En particulier, un espace affine est un torseur pour le groupe additif du vectoriel qui le dirige. Dans le cas général, je ne vois pas de raison de confondre le groupe avec l’ensemble sur lequel il agit. Alors pourquoi a-t-on envie de le faire dans le cas d’un espace affine?

    Prenons par exemple l’ensemble des bases d’un vectoriel de dimension finie n. Le groupe des matrices carrées de dimension n non singulières opère librement et transitivement sur cet ensemble. Dès qu’on fixe une base, on peut identifier les autres aux matrices dont elles en diffèrent semblablement au fait qu’un point étant fixé dans un espace affine, il peut s’identifier au vectoriel qui le dirige. Il ne viendrait cependant à l’idée de personne de dire que l’ensemble des bases est un groupe …

    Etonnant!

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