Polynômes de degré impairs et zéros réels : une remarque en passant

On sait que tout polynôme à coefficients réels de degré impair possède au moins un zéro réel.
En préparant des questions d’interrogation, un collaborateur et moi en sommes venus à discuter de la manière de vérifier ce fait.

Lui, il compte les zéros complexes : allant par paires de nombres complexes conjugués, leur nombre est nécessairement pair et le théorème de d’Alembert permet de conclure.

Pour ma part, j’utilise le théorème des valeurs intermédiaires : le degré du polynôme étant impair, ses limites en \pm\infty sont \pm\infty; il prend donc des valeurs de signes opposés et s’annule par conséquent quelque part.

La première méthode n’est plus guère accessible aux élèves de l’enseignement secondaire francophone de Belgique car l’étude des nombres complexes n’est au programme que de quelques classes, et encore, en option. Par contre la seconde y est tout à fait exploitable : dans la lente érosion de l’enseignement, l’analyse résiste mieux que l’algèbre et la géométrie.

La première méthode montre directement quelque chose de plus précis : le nombre des zéros réels d’un polynôme à coefficients réels est impair (donc n’est pas nul). La seconde s’adapte sans trop d’efforts pour aboutir à la même conclusion mais c’est moins élégant et direct qu’avec la première.

😉

2 réflexions sur “Polynômes de degré impairs et zéros réels : une remarque en passant

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