Droite projective réelle et cercle trigonométrique I — Equations non linéaires de droites

On a sans doute chacun plus ou moins l’habitude d’associer droites et équations du premier degré. Dans le cas du plan complexe, regardé comme plan affine euclidien réel, les droites possèdent d’autres équations, de nature bien différente. Bien entendu, il est toujours loisible de manipuler des équations données pour les remplacer par des équations équivalentes. Elles risquent de ne pas être très naturelles à cause de l’arbitraire des transformations mais celles que je vais montrer ont une origine très simple et très jolie : l’identification de la droite projective réelle avec un cercle laquelle repose à son tour sur le fait que tout nombre complexe non nul possède exactement deux racines carrées.

On regarde l’ensemble \mathbb C des nombres complexes comme un plan affine euclidien rapporté au repère dont l’origine est 0 et dont la base, orthonormée et positive, est (1,i).

Dans ce plan, le cercle de rayon 1 centré à l’origine n’est autre que le fameux cercle trigonométrique

S^1=\{\cos t+i\sin t|t\in \mathbb R\}

formé des nombres complexes de module égal à 1.

Toute droite \mathcal D passant par l’origine le coupe en deux points diamétralement opposés \pm z que l’on peut interpréter comme ses deux vecteurs directeurs unitaires. L’application

\tau:\mathcal D\in P^1\mathbb R \mapsto z^2\in S^1

est une bijection entre l’ensemble des droites de \mathbb C passant par l’origine — la droite projective réelle — et le cercle trigonométrique. Sa réciproque associe à un point de ce dernier la droite passant par ses deux racines carrées(*). A travers cette correspondance, on peut donc voir le cercle trigonométrique comme l’ensemble des directions du plan euclidien \mathbb C.

Une droite quelconque de \mathbb C est déterminée par sa direction et un de ses points. Notons \mathcal D_{a,u} celle qui passe par le point a et qui est parallèle à la droite passant pas les racines carrées du nombre complexe u de module 1. Par définition, z\in\mathbb C appartient à cette droite si, et seulement si,

(1) (z-a)^2=u|z-a|^2

En effet, en dehors du cas trivial où z=a, cette condition exprime que z-a est parallèle à la droite.

La relation (1) est donc une équation de \mathcal D_{a,u}. Comme annoncé, elle n’est pas du premier degré en les coordonnées mais sa signification géométrique est d’une simplicité enfantine.

La condition de parallélisme des droites \mathcal D_{a,u} et \mathcal D_{b,v} est u=v; celle de perpendicularité est u+v=0. Vous pourriez être tentés de trouver, plus généralement, une formule simple permettant de calculer l’angle de ces droites au moyen de u,v. Aussi ne vais-je pas le faire ici.😉

__________
(*) L’application \tau n’est pas seulement une bijection; elle a d’excellentes propriétés analytiques dont je dirai un mot dans un billet à venir.

5 réflexions sur “Droite projective réelle et cercle trigonométrique I — Equations non linéaires de droites

  1. Je vois bien l’idée mais la ligne qui définit l’application tau m’a l’air un peu confuse…
    Merci

    • Nul doute qu’une droite qui passe par l’origine de \mathbb R^2 coupe S^1 en des points symétriques par rapport à l’origine (0,0).

      Si (x,y) sont les coordonnées de l’un d’eux, celles de l’autre sont donc (-x,-y).

      Interprétés comme nombres complexes, il s’agit des nombres z=x+iy et -(x+iy)=-z. Leurs carrés sont égaux, à z^2, et de même longueur, 1.

      L’application \tau associe ce nombre z^2 à la droite considérée.

  2. Puisque |z-a|^2=(z-a)\overline{(z-a)}, l’équation se simplifie en z-a=u\cdot\overline{z-a}.
    Je ne sais pas quelle forme est la plus simple ou la plus jolie…

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