La droite projective réelle et le cercle trigonométrique II

L’application \tau décrite dans ce billet n’est pas seulement une bijection entre la droite projective réelle(*) et le cercle trigonométrique. Il s’avère en effet que c’est un difféomorphisme pour les structures naturelles de variété différentielle dont sont dotés ces deux ensembles.

Ce fait est bien connu mais je trouve instructif de le vérifier. Je crois en effet qu’il est intéressant pour ceux qui font leur premiers pas en géométrie différentielle de voir sur ce joli exemple comment fonctionnent les définitions de base de cette discipline dont le premier abord est, je le constate chaque année, assez difficile.

La droite projective réelle

L’ensemble P^1\mathbb R possède un atlas formé de deux cartes (U_i,\varphi_i), i=1,2. Le domaine U_i est l’ensemble des droites vectorielles de \mathbb R^2 qui ne sont pas perpendiculaires à \overrightarrow e_i. Autrement dit, ce sont les droites dont la i-ème composante des vecteurs directeurs n’est pas nulle :

U_i=\left\{\mathbb R\xi\ |\ \xi\in\mathbb R^2, \ \xi_i\neq 0\right\}

Les composantes d’un vecteur directeur \xi=(\xi_1,\xi_2) d’une droite \mathcal D en sont des coordonnées projectives ou homogènes. Les applications \varphi_i lui associent les coordonnées non homogènes correspondantes. Plus précisément,

\varphi_1(\mathcal D)=\frac{\xi_2}{\xi_1} \quad \& \quad \varphi_2(\mathcal D)=\frac{\xi_1}{\xi_2}

Elles ont toutes les deux \mathbb R pour image.

L’interprétation géométrique de ces applications est très simple. Par exemple, comme illustré sur le dessin suivant, \varphi_2(\mathcal D) est l’abscisse de l’intersection de \mathcal D avec la droite d’équation \xi_2=1.

coordonnees

Les deux cartes construites sont compatibles et forment donc bien un altlas (leurs domaines recouvrent la droite projective). En effet,

\varphi_2\circ\varphi_1^{-1}=\varphi_1\circ\varphi_2^{-1}: x\in\mathbb R\setminus\{0\}\mapsto \frac 1 x\in\mathbb R\setminus\{0\}

C’est cet atlas que l’on choisit pour faire de la droite projective réelle une variété différentielle. La topologie dont elle est alors munie n’est pas bien difficile à identifier(**): l’application

\pi:\xi\in\mathbb R^2\setminus\{0\}\mapsto \mathbb R\xi\in P^1\mathbb R

qui associe à \xi la droite vectorielle dont il est un vecteur directeur est surjective. Elle permet d’identifier P^1\mathbb R à un quotient de \mathbb R^2\setminus\{0\}. La topologie de la variété P^1\mathbb R est alors la topologie quotient associée, c’est-à-dire la plus fine qui rende cette application continue. En particulier, P^1\mathbb R est compact et connexe car c’est l’image par \pi du cercle trigonométrique.

L’application \tau est un homéomorphisme

A ce stade, c’est facile à voir. D’une part, par définition de \tau, le diagramme suivant est commutatif :

Par conséquent \tau est continu, en vertu des propriétés de la topologie quotient. Mais, comme P^1\mathbb R est compact et S^1 est séparé, il en résulte que \tau est un homéomorphisme.

L’application \tau est un difféomorphisme

Pour le vérifier, nous allons constater que ses expressions locales dans les cartes canoniques (U_i,\varphi_i) et des cartes bien choisies du cercle trigonométrique sont des applications de classe C^\infty dont les différentielles sont non singulières. La démarche est la même pour les deux cartes canoniques; je la détaille pour la première.

L’image \tau(U_1) est le complémentaire V de i^2=-1 dans le cercle trigonométrique, ce qui nous incite à prendre pour carte de ce dernier celle donnée par la projection stéréographique \psi de pôle -1, dont le domaine est précisément V. Elle associe à z=x+iy l’ordonnée de l’intersection avec l’axe vertical de la droite qui joint z à -1 :

projection

Elle est donnée par

\psi(x+iy)=\frac{y}{x+1}

Nous devons déterminer

\psi\circ\tau\circ\varphi_1^{-1}:\mathbb R\to \mathbb R

Au nombre réel x, \varphi_1^{-1} associe la droite de vecteur directeur (1,x)\equiv 1+ix. Pour lui appliquer \tau, nous devons le normer puis élever le résultat au carré, ce qui donne

\left(\frac{1+ix}{\sqrt{1+x^2}}\right)^2=\frac{1}{1+x^2}(1-x^2+2ix)

Appliquant ensuite \psi, nous obtenons ainsi quelque chose d’extrêmement simple : l’expression locale de \tau dans les cartes (U_1,\varphi_1) et (V,\psi) est l’identité! Nous trouverions la même chose avec la seconde carte canonique et la projection stéréographique de pôle 1.

La cause est donc entendue.😉

__________
(*) C’est l’ensemble des droites vectorielles de \mathbb R^2. Plus généralement, l’espace projectif réel de dimension m est l’ensemble des droites vectorielles de \mathbb R^{m+1}. On le note P^m\mathbb R.
(**) Mais je ne le ferai pas ici.

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