Question ouverte à propos des matrices à deux lignes et trois colonnes

Comme je le signalais dans ce billet, le théorème de Rouché-Fontené donne des équations cartésiennes locales pour la variété M(p,q,r) des matrices réelles de rang r ayant p lignes et q colonnes.

Cela fournit par exemple trois jeux d’équations cartésiennes permettant de décrire M(2,3,1). En notant

M=\begin{pmatrix}x &y &z\\u& v& w\end{pmatrix}

un élément quelconque de l’ensemble M(2,3) des matrices réelles ayant deux lignes et trois colonnes, et \Omega_i l’ouvert de cet ensemble formé des M dont la i-ème colonne est non nulle, le premier a pour domaine de définition \Omega_1 et pour équations(*)

F_1=(f_2,f_3)=(zu-xw,xv-yu)

Les deux autres jeux sont définis dans \Omega_2 et \Omega_3 et sont donnés par F_2=(f_3,f_1) et F_3=(f_1,f_2) respectivement, où

f_1=yw-zv

Ces équations sont locales en ce sens qu’aucune ne décrit M(2,3,1) en entier, contrairement à, par exemple, x^2+y^2+z^2-1=0 qui décrit globalement la sphère de rayon 1 centrée à l’origine de \mathbb R^3.

J’ai l’impression que M(2,3,1) n’admet pas d’équations cartésiennes globales, autrement dit qu’il n’existe pas de fonction F de classe C^\infty d’un ouvert \Omega de M(2,3) à valeurs dans \mathbb R^2 qui soit partout de rang 2 et dont M(2,3,1) soit l’ensemble des zéros, mais je ne sais pas le prouver!

J’aimerais bien que cela soit vrai, cependant, car cela fournirait un bel exemple de variété plongée justifiant, de façon non triviale, l’utilisation d’équations cartésiennes locales.

La question est donc ouverte et je lirai avec plaisir toute remarque, suggestion voire — ce serait l’idéal — démonstration que vous pourriez proposer.😉

P.S. On peut naturellement formuler une conjecture analogue à propos de M(p,q,r) mais j’aimerais déjà comprendre ce qu’il se passe dans le cas de M(2,3,1), en apparence si anodin.

__________
(*) Cela signifie que F_1 est partout de rang 2 dans \Omega_1 et que ses zéros sont les points de \Omega_1\cap M(2,3,1).

23 réflexions sur “Question ouverte à propos des matrices à deux lignes et trois colonnes

  1. Pour moi la question n’est pas assez clairement posée. Que veux-tu dire par « équations » ? Des équations « très explicites » ?
    Tu donnes l’exemple de la sphère. Or si je déforme celle-ci légèrement et localement en sorte d’obtenir un « oeuf » difféomorphe à la sphère alors je serais incapable d’en donner explicitement une équation. Pourtant, « en théorie », cette équation existe.

    • Je ne cherche pas à expliciter des équations mais seulement à trancher la question de savoir s’il en existe qui soient globales. La formulation précise se trouve dans le paragraphe qui commence par « J’ai l’impression … »

  2. Je suppose que l’équation (somme des carrée des mineurs)=0 ne vérifie pas la condition « être partout de rang 2 », ce serait trop facile🙂

    • Oui, ça ne marche pas. Une proposition dans le même genre d’idée :
      Soit M un une sous-variété différentiable de R^n. On définit une fonction f qui à tout point de R^n associe le carré de sa distance à M. Alors f est dérivable et l’ensemble de ses zéros est M.

      • Cela ne peut fonctionner que pour une hypersurface (i.e. une variété de codimension 1) car le nombre d’équations cartésiennes scalaires est la codimension de la sous-variété. Et même dans le cas d’une hypersurface, il reste à s’assurer que le rang de l’application proposée soit 1 partout sur la surface (ce qui est assez vraisemblable, cela dit). Enfin, cela ne s’applique pas à notre exemple car M(2,3,1) n’est pas un fermé de M(2,3). Ce ne peut donc être l’ensemble des zéros d’une fonction continue définie sur M(2,3) tout entier.

      • Bien sûr ça ne marche pas (même pour une hypersurface) car il s’agit d’une fonction positive, donc son rang est forcément nul sur son minimum (qui est la variété à décrire).

      • En plus, si ça merchait on aurait comme (faux) corollaire que toute hypersurface dans R^n serait orientable😉

    • Cher MathOman, cher Pierre:
      Toute hypersurface fermée H de R^n est le lieu d’annulation d’une fonction de classe C^infini définie sur tout R^n et dont le gradient ne s’annule pas sur H. Cette hypersurface H est donc en particulier orientable. Pourquoi pensez-vous que ce soit faux ?

  3. L’hypothèse fermée fait sans doute toute la différence.
    Sans elle, il y a des contre-exemples, comme les rubans de Moebius.
    Où peut-on trouver une preuve de ce que tu affirmes?

    P.S. Salut, Georges, cela fait bien longtemps! De quand date notre dernière rencontre?

  4. Cher Georges, j’ai seulement affirmé que la fonction particulière « associer à chaque point de R^n le carré de la distance euclidienne à l’hypersurface » ne fonctionne pas car son gradient est nul sur l’hypersurface.

  5. Cher Pierre,
    Soit M\subset  \mathbb R^n une hypersurface lisse. On lui associe un fibré en droites \mathcal O(M) sur \mathbb  R^n dont la restriction \mathcal O(M)\mid Mà la variété M est son fibré normal N_{\mathbb R^n}(M).
    Le point-clef est que le fibré \mathcal O(M) est trivial, vu que tous les fibrés vectoriels sont triviaux sur \mathbb R^n.
    Mais alors la restriction \mathcal O(M)\mid M=N_{\mathbb R^n}(M) est évidemment triviale elle aussi et il est alors clair que l’hypersurface est orientable puisque son fibré normal est trivial.

    Le considération du fibré \mathcal O(M) est standard en géométrie algébrique ou analytique. J’ en rappelle une description:

    Si M est donnée dans un recouvrement ouvert adéquat (U_i) par des fonctions f_i, le fibré en question est donné par le cocycle g_{ij}=f_i/f_j.

    Et je ne me rappelle pas non plus quand nous nous sommes vus la dernière fois! En tout cas je suis heureux de cette nouvelle rencontre épistolaire…
    @MathOMan: toutes mes excuses, j’ai mal interprété ton message.

    • Cher Georges,
      Merci de ta réponse! Je suis d’accord : l’existence du fibré en question implique l’orientabilité de l’hypersurface. Mais je comprends mal la construction du fibré. Et je ne vois pas pourquoi le contre-exemple d’un ruban de Moebius (genre de celui d’Escher, arpenté par des fourmis) ne te contredit pas.

  6. Cher Pierre,
    le ruban de Möbius sans bord peut se plonger dans \mathbb R^3, mais pas comme sous-variété fermée: seulement comme sous-variété localement fermée.
    Le ruban avec bord se plonge comme sous-variété à bord fermée, mais le théorème que j’évoque ne concerne que les variétés sans bord.
    Le ruban sans bord se plonge évidemment, comme toute variété de dimension 2, comme sous-variété fermée dans \mathbb R^4.

    Il ya des démonstrations de géométrie différentielle plus traditionnelle du théorème d’orientabilité des hypersurfaces fermées: j’essaierai de t’en trouver une.

    Enfin j’aimerais voir tes calculs de fonctions définissant la variété \mathcal M(m,n,r) et de leurs différentielles.
    Je connais un peu cette variété et en particulier une description intrinsèque de son espace tangent en chacun de ses points .
    Je ne connais pas par contre ce théorème de Rouché-Fontené et si tu faisais un petit billet sur ce thème , je le lirais avec plaisir.
    En attendant, je te laisse et te souhaite un très beau dimanche.
    Georges.

    • Cher Georges, dans ta construction du fibré, ce que je vois mal, c’est le recouvrement ouvert adéquat. S’il s’agit d’un recouvrement ouvert de \mathbb R^n, alors je suis d’accord avec ta preuve. Ce qui me tracasse, c’est comment on recouvre le complémentaire de M : comme il est ouvert puisque la variété est fermée, y prendrait-on pour fonction une fonction sans zéro, une constante non nulle, par exemple?

      Pour le théorème de Rouché-Fontené, je le décris ici. En principe, je ne pensais pas le prouver sur ce blog. Quant à la vérification du fait que les déterminants bordés forment des équations cartésiennes de M(p,q,r), elle est présentée dans mon cours de seconde année, à cette adresse. Peut-être vais-je en rédiger une version sur ce blog en guise de réponse à la question posée sur le billet mentionné plus haut mais, comme c’est un peu technique, je ne suis pas certain que cela passerait bien.(*)

      J’aimerais connaitre la description intrinsèque de l’espace tangent dont tu fais mention.

      Bon dimanche à toi aussi!😉

      (*) Il y a une petite coquille dans la preuve en question. Il faut lire \pm A_\alpha à la fin de la dernière formule.

  7. Cher Pierre, Google m’a fourni ce vieil article de Samelson (je ne l’ai pas lu) prouvant l’orientabilité des hypersurfaces des espaces numériques

    En ce qui concerne ma démonstration, oui, c’est exactement ça: sur tout ouvert disjoint de l’hypersurface, on prend comme équation la fonction 1.
    Une autre façon de tourner cette démonstration est de dire que toute donnée C^\infty de Cousin-II est résoluble.
    J’ai souvent remarqué que de nombreux théorèmes de géométrie différentielle sont évidents une fois qu’on se rend compte que toutes les variétés C^\infty se comportent comme des variétés de Stein en géométrie analytique, parce que leur faisceau structural est fin et donc acyclique.
    Au lieu de quoi dans la littérature on le redémontre chaque fois implicitement en utilisant des partitions de l’unité .
    Evidemment il y a un investissement initial à faire pour apprendre les rudiments de la théorie des faisceaux, mais je crois qu’il est rentable.

    Pour répondre à ta demande: Si M\in \mathcal M(p,q,r) est une matrice de rang r , l’ espace tangent à M\in \mathcal M(p,q,r) en cette matrice est l’espace vectoriel des V\in \mathcal M(p,q) tels que V(ker(M))\subset M(\mathbb R^q)(\subset \mathbb R^p)

    Last, not least, je te remercie vivement pour les liens à tes documents, que j’aurai beaucoup de plaisir à lire.
    Avec toutes mes amitiés,
    Georges.

    • Il y a un petit problème avec mon lien: seule la première ligne de l’adresse est prise en compte (en surlignement) par le logiciel. Si tu parviens à corriger ça, cher Pierre, je te prierai d’ effacer le présent message.

      • Cher Georges,

        Merci de ta réponse. Je ne sais pas corriger, apparamment, le lien. Saurais-tu me le transmettre par mail. J’arrangerai les choses, en ce compris la gestions des réponses.😉

    • Ah, mais ça marche maintenant: il n’y a qu’à cliquer sur la partie bleue surlignée.
      J’avais dû faire une fausse manoeuvre.

  8. Je profite de ce que j’ai la bouche ouverte pour te dire le plaisir que j’ai eu à consulter tes notes sur les variétés (et en particulier sur les matrices de rang constant) : elles sont fabuleuses !

  9. Comme tu y vas! Mais merci, on ne refuse pas un compliment!🙂

    P.S. Le lien est corrigé. Une balise incongrue occupait l’url. Je vais laisser les messages tels quels.

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