En guise d’exercice, un lemme sur les paraboles

Considérons deux fonctions

f:x\mapsto px^2+qx+r \mbox{   et   } g:x\mapsto ux^2+vx+w

à coefficients réels, avec pu\neq 0. On se pose la question de savoir quand f(\mathbb N)=g(\mathbb N).
Voici la réponse dont j’ai eu besoin un jour et que je vous invite à prouver.

On a f(\mathbb N)=g(\mathbb N) si, et seulement si, soit f=g soit p=u et il existe des entiers positifs ou nuls k,l tels que k+l>0 et

f(x)=ph(x-k), g(x)=ph(x-l)

pour tout x, où h est de la forme

x\mapsto x^2+\alpha \mbox{   ou   } x\mapsto (x+\frac 1 2)^2+\alpha

pour un certain réel \alpha

Publicités

2 réactions sur “En guise d’exercice, un lemme sur les paraboles

  1. Quitte à changer de signe, on peut supposer que p est positif. Alors f(x) est positif pour presque tout x, donc u est également positif.

    Quand n tend vers l’infini, le cardinal de l’ensemble des entiers appartenant à f(N) et qui sont plus petits que n est équivalent à \sqrt{n/p}. On en déduit que \sqrt{n/p}\sim \sqrt{n/u} et donc p=u.

    On met f et g sous la forme canonique : écrivons f(x)=p(x-k)^2+a et g(x)=p(x-l)^2+b. Quitte à permuter f et g on peut supposer que l\ge k.

    Comme les suites (f(n)) et (g(n)) sont strictement croissantes à partir d’un certain rang, il existe un entier relatif m tel que f(n)=g(n+m) pour n assez grand, donc (n-k)^2+a=(n+m-l)^2+b. En développant, on trouve que a=b et l=k+m. En particulier, l-k=m est un entier positif.

    Il reste à montrer que si l-k=m est un entier positif et si les fonctions (x-k)^2 et (x-l)^2 prennent les mêmes valeurs sur N alors k et l sont des demi-entiers plus grands ou égaux à -1/2.

    Il existe x\in N tel que ((m-1)-k)^2=(x-l)^2. Si m-1-k=x-l alors x=-1. Impossible.
    Donc m-1-k=l-x, ce qui donne x=k+l-m+1=2k+1. CQFD.

Laisser un commentaire

Entrez vos coordonnées ci-dessous ou cliquez sur une icône pour vous connecter:

Logo WordPress.com

Vous commentez à l'aide de votre compte WordPress.com. Déconnexion / Changer )

Image Twitter

Vous commentez à l'aide de votre compte Twitter. Déconnexion / Changer )

Photo Facebook

Vous commentez à l'aide de votre compte Facebook. Déconnexion / Changer )

Photo Google+

Vous commentez à l'aide de votre compte Google+. Déconnexion / Changer )

Connexion à %s