L’orientation canonique des espaces vectoriels complexes

Alors que je faisais une remarque à propos de la notion d’orientation d’un espace vectoriel sur le forum M@th en Ligne, un ami me faisais observer que celle-ci concerne les espaces vectoriels réels, ce que je n’avais pas précisé dans mon commentaire.

Ceci m’a aussitôt mis la puce à l’oreille : les espaces vectoriels sur \mathbb C ne seraient-ils pas naturellement orientés? Plus précisément, un espace vectoriel complexe E est aussi un espace vectoriel réel. Les opérations vectorielles de cet espace, que je noterai E_r, sont les mêmes que celles de E à ceci près que l’on restreint la multiplication par les scalaires aux nombres réels. Je me suis donc demandé si la présence d’une structure complexe sur E_r ne le munissait pas automatiquement d’une orientation.

La réponse est positive et la preuve en est aisée comme on va le voir. Elle repose sur une belle formule qu’il est utile de connaître(*).

La clé réside dans le fait que si \mathbf{b}=(e_1,\ldots,e_n) est une base de E, alors \mathbf{b}_r=(e_1,\ldots,e_n,ie_1,\ldots,ie_n) est une base de E_r, ce qu’il est immédiat de vérifier. Cela étant, si P+iQ\  (P,Q\in\mathrm{gl}(n,\mathbb R)), est la matrice de passage entre des bases \mathbf{b} et \mathbf{b}' de E, alors celle permettant de passer de \mathbf{b}_r à \mathbf{b}'_r est

(1) \begin{pmatrix}P&-Q\\Q&P\end{pmatrix}

Or il se fait que

\det\begin{pmatrix}P&-Q\\Q&P\end{pmatrix}=|\det(P+iQ)|^2

En particulier, le déterminant de la matrice (1) est positif. Les bases \mathbf{b}_r appartiennent donc à la même orientation de E_r qui se voit ainsi naturellement orienté grâce à la structure complexe provenant de E.

P.S. (Ce qui suit résulte des commentaires faits sur ce billet, dont je remercie les auteurs.) Pour orienter E_r, nous pourrions utiliser -i plutôt que i, c’est-à-dire considérer les bases

\overline{\mathbf b}_r=(e_1,\ldots,e_n,-ie_1,\ldots,-ie_n)

à la place des bases \mathbf{b}_r. Lorsque n est impair, les deux orientations obtenues sont opposées. Par contre, lorsque n est pair, elles coïncident. En conséquence, on peut véritablement parler d’orientation canonique de E_r lorsque E est de dimension paire tandis que, en dimension impaire, ce que j’appelle orientation naturelle plus haut est en réalité tributaire du choix de la racine carrée de -1 qu’on convient de désigner par i. P.L. 31/05/2012
__________
(*) Avant qu’un ami ne m’en fasse la remarque, je précise que les espaces vectoriels considérés ici sont de dimension finie.😉

13 réflexions sur “L’orientation canonique des espaces vectoriels complexes

  1. … Naturellement orienté si le corps \mathbf C des nombres complexes est fourni avec une racine carrée de -1 (notée i). J’ai l’impression que \mathbf C n’appartient pas à la catégorie des corps mais à la catégorie des *corps muni d’une racine carrée de -1*. Désolé pour le pinaillage facile🙂

    • Je ne pense pas un instant que tu pinailles mais je ne suis pas non plus certain de te suivre.

      En ce qui me concerne, j’utilise une définition de \mathbb C — très terre à terre, je le reconnais — dans laquelle il n’y a aucune ambiguïté sur ce qu’est i. En l’occurrence, \mathbb C=\mathbb R^2 muni des opérations connues. En particulier, i=(0,1).

      En second lieu, si une structure de \mathbb C-espace vectoriel est donnée sur E, alors i est parfaitement déterminé (sans quoi la structure ne l’est pas). Sur E_r elle est déterminée sans ambiguïté : c’est une application \mathbb R-linéaire J:E_r\to E_r telle que J^2+\mathrm{id}_E=0.

      C’est cette dernière réflexion qui emporte ma conviction mais, finalement, elle rejoint la tienne, en ce sens que z\to\overline z est un isomorphisme de corps.

      Très fine ta remarque!
      🙂

      • Ok, donc tu utilises bien une définition de \mathbf C qui en fait un tout petit peu plus qu’un corps : un corps muni d’un élément particulier. Je te rassure : tout le monde fait ainsi😉

  2. Pour voir si j’ai bien compris : en définissant \mathbb C comme la clôture algébrique de \mathbb R, on sait que -1 a deux racines carrées mais elles sont « indiscernables » de même que le sont généralement les deux orientations possibles d’un espace vectoriel. Au fond, mon billet est erroné d’une certaine façon.

  3. Autrement dit, si E est un C-espace vectoriel de dimension n, il y a une bijection canonique entre les racines carrées de -1 et les orientations de E.

  4. Oups, désolé, mon message précédent est erroné. J’aurais dû dire que si E est un C-espace vectoriel de dimension n, il y a une APPLICATION canonique (bijective ssi n est impair) entre les racines carrées de -1 et les orientations de E.

    • Glups! Quelque chose m’échappe? Je n’ai pas approfondi le caractère bijectif — je pensais que c’était évident. Autrement dit, si n est pair, les deux racines carrées de -1 donnent la même orientation (qui est alors pleinement canonique), c’est cela? Sans réfléchir je ne vois pas directement pourquoi.

      • A mais si, c’est même évident, il suffit d’écrire la matrice de passage entre les bases \mathbf{b}_r relatives aux deux racines carrées. En dimension paire, son déterminant est positif!

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