Racine d’un nombre complexe et continuité

Lorsque je dois rapidement convaincre mes étudiants du fait qu’il n’existe pas de fonction racine n-ième continue sur \mathbb C\setminus\{0\}, je procède par l’absurde comme ceci. Supposons disposer d’une fonction continue f:\mathbb C\setminus\{0\}\to\mathbb C\setminus\{0\} vérifiant

\forall z\in\mathbb C\setminus\{0\}:\quad f(z)^n=z

Notons S^1 le cercle trigonométrique, ensemble des complexes de module 1, et posons A=f(S^1), \xi=\exp(2i\pi/n).

Les ensembles(*) \xi^kA, k=0,1,\ldots,n-1, partitionnent S^1. Or ils sont compacts car f est continu, donc fermés, car le cercle est séparé. Ils disconnectent dès lors le cercle. L’existence de f est donc contradictoire. 😉

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(*) Pour rappel, si u est une racine n-ième d’un nombre complexe, alors les racines n-ièmes de celui-ci sont les nombres

u,\xi u,...,\xi^{n-1}u

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6 réactions sur “Racine d’un nombre complexe et continuité

  1. C’est un des exemples qu’on donne, je suppose, dans la théorie des revêtements. On peut aussi dire (mais c’est grosso modo la même chose) qu’une telle application f, si elle existant, induirait un homéomorphisme de S1 sur une partie stricte de S1, et cela est impossible (pour des raisons de connexité, ou de simple connexité).

  2. Pour des raisons de connexité, je n’en suis pas certain. Par contre, ok pour la simple connexité (de la partie stricte). Mais alors, l’argument nécessite des connaissances d’un autre ordre : mes étudiants ne connaissent pas le groupe fondamental. 😉

  3. Je suis d’accord sur la simple connexité : c’est de l’artillerie lourde, inadaptée au contexte. L’argument de connexité serait : toute partie stricte du cercle perd son éventuelle connexité lorsqu’on lui enlève un point. Cela résulte du fait suivant : les parties connexes de IR sont les intervalles 🙂

      • Le voici en entier : soit A une partie du cercle différente du cercle. On veut montrer que A n’est pas homéomorphe au cercle. Le cercle a la propriété suivante : lorsqu’on lui enlève un point *quelconque*, on obtient un espace connexe. L’espace A n’a pas cette propriété (en effet, on peut identifier A à une partie de IR, on peut évidemment supposer que A a au moins trois points, et alors lorsqu’on enlève un point bien choisi à A, on obtient une partie de IR qui n’est pas un intervalle donc qui n’est pas connexe). La propriété dont on parle étant conservée par homéomorphisme, le résultat est démontré.

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