Isobarycentres et polygones II : le cas des pentagones

Je vais illustrer ici, à propos des pentagones, les quelques remarques faites dans ce billet sur le nombre de sommets d’un polygone qui ont la propriété B introduite dans cet article.

Nous noterons ABCDE un pentagone, les sommets étant énumérés consécutivement. Deux d’entre eux au plus peuvent avoir la propriété B.

Cas d’un sommet

Supposons que A possède la propriété B. L’équation (1) de l’article mentionné en début de billet s’écrit

6A-4B+C+D-4E=0

ou encore

\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}=4\overrightarrow{AB}+4\overrightarrow{AE}

En construisant les sommes par la règle du parrallélogramme, on voit comment obtenir les pentagones répondant à cette condition, ainsi que suggéré sur la figure suivante.

Ces pentagones peuvent être gauches, le parallélogramme représenté en vert n’étant pas nécessairement dans le même plan que l’autre.

Cas de deux sommets

Celui-ci se subdivise en deux sous-cas : celui où les sommets en question sont consécutifs (A,B) et celui où ils ne le sont pas (A,C(*)).

Dans le premier, on a le système d’équations

\left\{\begin{array}{c}6A-4B+C+D-4E=0\\-4A+6B-4C+D+E=0\end{array}\right.

Un peu de calcul permet de vérifier qu’il équivaut aux conditions

\overrightarrow{ED}=2\overrightarrow{BC}\quad\&\quad \overrightarrow{CD}=2\overrightarrow{AE}

Les pentagones ayant cette propriété s’obtiennent en ôtant d’un parallélogramme un triangle ayant pour sommets un sommet du parallélogramme et les milieux des deux côtés qui en sont issus. Voici un exemple :

Lorsque les sommets A et C ont la propriété B, les équations sont

\left\{\begin{array}{c}6A-4B+C+D-4E=0\\A-4B+6C-4D+E=0\end{array}\right.

Elles équivalent au fait que ACDE est un parallélogramme et

B=\frac 1 2 (D+E)+\frac 7 4 \overrightarrow{DC}

On observe que B est entièrement déterminé par le parallélogramme. La figure suivante représente un pentagone de cette famille et suggère comment il a été construit.

Dans les deux sous-cas, les pentagones décrits sont plans.
__________
(*) On obtient rien de plus si on prend D plutôt que C.

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