Isobarycentres et polygones III : les hexagones et les autres

Je reviens rapidement sur le problème étudié dans ce billet pour faire quelques remarques sur l’existence de polygones dont un sommet a la propriété B, introduite dans le billet en question. J’aurais d’ailleurs dû faire ces remarques à la fin de celui-ci.

Reprenons l’équation (1) du billet. Elle exprime que le sommet A_1 du polygone A_1\cdots A_n a la propriété B :

(n-3)(n-2)A_1-(2n-6)A_2-(n-6)\sum_{i=3}^{n-1}A_i-(2n-6)A_n=0

La somme des coefficients des points y est nulle, ce qui permet de la réécrire comme ceci :

2(n-3)\left(\overrightarrow{A_1A_2}+\overrightarrow{A_1A_n}\right)+(n-6)\sum_{i=3}^{n-1}\overrightarrow{A_1A_i}=0

Pour n >6 , on peut donc construire(*) facilement des polygones ayant un sommet possédant la propriété B : on choisit le sommet en question et ses deux plus proches voisins puis les autres sommets en s’arrangeant pour que

\sum_{i=3}^{n-1}\overrightarrow{A_1A_i}=-\frac{2(n-3)}{n-6}\left(\overrightarrow{A_1A_2}+\overrightarrow{A_1A_n}\right)

ce qui ne pose pas de problème. Voici un exemple d’heptagone solution, le sommet ayant la propriété B étant A. Il peut être considéré comme gauche; s’il est considéré comme plan, alors il n’est pas convexe, contrairement à ce qui se passe avec les quadrilatères et les pentagones plans solutions.

Pour n=6, un phénomène amusant se produit. L’équation se réduit à

\overrightarrow{A_1A_2}+\overrightarrow{A_1A_n}=0

Elle signifie que A_1 est le milieu du segment [A_2,A_n]. Il n’y a donc pas d’hexagone dont un sommet possède la propriété B. Par contre, l’isobarycentre de tout pentagone et du milieu d’un de ses côtés est l’isobarycentre de ceux des triangles formés par ce milieu et les autres côtés.

P.S. La non convexité de l’heptagone n’est pas due au hasard. En effet, pour n>6, le coefficient de \overrightarrow{A_1A_2}+\overrightarrow{A_1A_n} dans l’avant dernière égalité est négatif de sorte que le cône convexe de sommet A_1 engendré par \overrightarrow{A_1A_2},\overrightarrow{A_1A_n} ne peut contenir tous les sommets A_3,\ldots,A_{n-1}. P.L. 15/06/2012
__________
(*) Dans un plan ou, à la rigueur, dans un espace de dimension trois mais l’enveloppe affine de ces polygones peut atteindre la dimension n-2.

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