Systèmes d’équations linéaires et combinaisons affines : une remarque en passant

Un problème posé à propos de polygones m’a conduit il y a peu à considérer des systèmes formés d’équations linéaires homogènes

(1) \sum_{i=1}^na_{ji}x_i=0,\quad j=1,...,p

dans chacune desquelles la somme des coefficients des inconnues est toujours nulle.

Dans le problème considéré, les inconnues sont des points d’un espace affine. Les deux membres des équations du systèmes représentent donc des vecteurs libres de ce dernier.

Quand elles sont compatibles, les équations du systèmes peuvent être utilisées pour exprimer certaines des inconnues — dites principales — comme combinaisons linéaires des autres — dites secondaires. Vu qu’il s’agit de points, ces combinaisons doivent plus spécifiquement être affines, c’est-à-dire voir chacune la somme de leurs coefficients valoir 1.

C’est effectivement toujours le cas, ce que je vous propose de vérifier. Plus précisément, on considère un système d’équations (1) de p équations à n inconnues et de rang p, posé dans un corps commutatif. Si, dans chaque équation du système, la somme des coefficients des inconnues est nulle alors p inconnues principales du système s’expriment toujours comme combinaisons affines des n-p inconnues secondaires correspondantes(*).

__________
(*) Des inconnues x_{i_1},...,x_{i_p} du système sont principales si le déterminant de la matrice (a_{ki_l})_{1\leqslant k,l\leqslant p} n’est pas nul. Les autres inconnues sont alors dites secondaires.

4 réflexions sur “Systèmes d’équations linéaires et combinaisons affines : une remarque en passant

  1. Une tentative qui n’a aucune prétention éclairante : une fois le système « échelonné », on a des équations de la forme x_k=b_{k,1}x_{i_1}+\dots+b_{k,p}x_{i_p}. Puisque la liste (1,1,\dots,1) est solution du système de départ, elle l’est encore pour le système échelonné. On obtient donc 1=b_{k,1}+\dots+b_{k,p}, c’est le résultat🙂

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