Soit un espace vectoriel et son dual
, espace des applications linéaires de
dans son corps de scalaires
. A toute application linéaire(*)
de
dans lui-même est associée sa transposée
L’application est linéaire et vérifie l’identité (c’est immédiat)
(1)
Supposons de dimension finie et muni d’une application bilinéaire
. Elle donne lieu à une application linéaire
, définie par
Par définition, le radical de est le noyau de
et
est non dégénéré s’il est égal à
. Dans ce cas,
est une bijection car
est de dimension finie. On définit alors une autre notion de transposée sur
. Pour ne pas la confondre avec la précédente, je l’appellerai la
-transposée et, pour autant qu’il n’y ait pas d’ambiguïté sur
, je la désignerai par un « tilde ». Elle est définie par la formule
ou, ce qui revient au même, par la condition
(2)
Vu (1), il est clair que
De même, en exploitant la version (2) de la définition, on voit immédiatement que(**)
Si
est symétrique, alors
En particulier,
Si
est symétrique, tout endomorphisme de
s’écrit de manière unique comme somme d’un endomorphisme
-symétrique (
) et d’un endomorphisme
-antisymétrique (
).
La -transposition permet d’étendre
en une forme bilinéaire sur
, en posant
dont on vérifie facilement qu’elle est non dégénérée tout comme et qu’elle est symétrique si
l’est. Nous l’utiliserons dans un billet ultérieur, consacré aux comatrices.
Qu’est-ce que les deux transpositions ont à voir avec celle des matrices?
Eh bien, la matrice qui représente dans une base de
et celle qui représente
dans la base duale sont transposées l’une de l’autre mais la transposition matricielle n’a généralement rien à voir avec la
-transposition.
A une exception près, cependant, et importante : si est réel et si
est un produit scalaire alors la matrice représentant
dans une base orthonormée est la transposée de celle qui représente
.
En particulier, si on munit de son produit scalaire canonique
, alors la forme bilinéaire induite sur
est donnée par
C’est donc le produit scalaire canonique de .
__________
(*) L’espace des applications linéaires d’un espace vectoriel dans un espace vectoriel
sera désigné par
.
(**) En dimension finie, on identifie canoniquement et
,
étant identifié à
, et on vérifie facilement que
.