Il y a transposée et transposée …

Soit un espace vectoriel E et son dual E^*, espace des applications linéaires de E dans son corps de scalaires \mathbb K. A toute application linéaire(*) A de E dans lui-même est associée sa transposée

^tA\in\mathcal L(E^*,E^*) : \xi\mapsto\ ^tA (\xi):=\xi\circ A

L’application A\mapsto\ ^tA est linéaire et vérifie l’identité (c’est immédiat)

(1) ^t(AB)=\ ^tB\circ\ ^tA

Supposons E de dimension finie et muni d’une application bilinéaire g:E\times E\to\mathbb K. Elle donne lieu à une application linéaire \flat :E\to E^*, définie par

\forall x,y\in E :\quad x^\flat(y)=g(x,y)

Par définition, le radical de g est le noyau de \flat et g est non dégénéré s’il est égal à \{0\}. Dans ce cas, \flat est une bijection car E est de dimension finie. On définit alors une autre notion de transposée sur \mathcal L(E,E). Pour ne pas la confondre avec la précédente, je l’appellerai la g-transposée et, pour autant qu’il n’y ait pas d’ambiguïté sur g, je la désignerai par un « tilde ». Elle est définie par la formule

\tilde A=\flat^{-1}\circ\ ^tA\circ \flat

ou, ce qui revient au même, par la condition

(2) \forall  x,y\in E,\quad g(\tilde{A}x,y)=g(x,Ay)

Vu (1), il est clair que

\widetilde{(AB)}=\tilde{B}\tilde{A}

De même, en exploitant la version (2) de la définition, on voit immédiatement que(**)

Si g est symétrique, alors

\forall A\in\mathcal{L}(E,E), \quad\tilde{\tilde{A}}=A

En particulier,

Si g est symétrique, tout endomorphisme de E s’écrit de manière unique comme somme d’un endomorphisme g-symétrique (\tilde{X}=X) et d’un endomorphisme g-antisymétrique (\tilde{X}=-X).

La g-transposition permet d’étendre g en une forme bilinéaire sur \mathcal{L}(E,E), en posant

g(A,B)=\mathrm{tr}\left(\tilde{A}\circ B\right)

dont on vérifie facilement qu’elle est non dégénérée tout comme g et qu’elle est symétrique si g l’est. Nous l’utiliserons dans un billet ultérieur, consacré aux comatrices.

Qu’est-ce que les deux transpositions ont à voir avec celle des matrices?

Eh bien, la matrice qui représente A\in\mathcal{L}(E,E) dans une base de E et celle qui représente ^tA dans la base duale sont transposées l’une de l’autre mais la transposition matricielle n’a généralement rien à voir avec la g-transposition.

A une exception près, cependant, et importante : si E est réel et si g est un produit scalaire alors la matrice représentant \tilde{A} dans une base orthonormée est la transposée de celle qui représente A.

En particulier, si on munit \mathbb R^n de son produit scalaire canonique g_n, alors la forme bilinéaire induite sur \mathcal{L}(\mathbb R^n,\mathbb R^n)\equiv\mathcal M_n(\mathbb R) est donnée par

g_n(A,B)=\sum_{i,j=1}^n(\tilde{A})_{ij}B_{ji}=\sum_{i,j=1}^n{A}_{ji}B_{ji}

C’est donc le produit scalaire canonique de \mathcal M_n(\mathbb R)\equiv \mathbb R^{n^2}.

__________
(*) L’espace des applications linéaires d’un espace vectoriel E dans un espace vectoriel F sera désigné par \mathcal L (E,F).
(**) En dimension finie, on identifie canoniquement E et E^{**}, x\in E étant identifié à \xi\in E^*\mapsto \xi(x)\in \mathbb K, et on vérifie facilement que ^t(\ ^tA)=A.

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