Il y a transposée et transposée …

Soit un espace vectoriel $E$ et son dual $E^*$ , espace des applications linéaires de $E$ dans son corps de scalaires $\mathbb K$ . A toute application linéaire(*) $A$ de $E$ dans lui-même est associée sa transposée

$^tA\in\mathcal L(E^*,E^*) : \xi\mapsto\ ^tA (\xi):=\xi\circ A$

L’application $A\mapsto\ ^tA$ est linéaire et vérifie l’identité (c’est immédiat)

(1) $^t(AB)=\ ^tB\circ\ ^tA$

Supposons $E$ de dimension finie et muni d’une application bilinéaire $g:E\times E\to\mathbb K$ . Elle donne lieu à une application linéaire $\flat :E\to E^*$ , définie par

$\forall x,y\in E :\quad x^\flat(y)=g(x,y)$

Par définition, le radical de $g$ est le noyau de $\flat$ et $g$ est non dégénéré s’il est égal à $\{0\}$ . Dans ce cas, $\flat$ est une bijection car $E$ est de dimension finie. On définit alors une autre notion de transposée sur $\mathcal L(E,E)$ . Pour ne pas la confondre avec la précédente, je l’appellerai la $g$ -transposée et, pour autant qu’il n’y ait pas d’ambiguïté sur $g$ , je la désignerai par un « tilde ». Elle est définie par la formule

$\tilde A=\flat^{-1}\circ\ ^tA\circ \flat$

ou, ce qui revient au même, par la condition

(2) $\forall x,y\in E,\quad g(\tilde{A}x,y)=g(x,Ay)$

Vu (1), il est clair que

$\widetilde{(AB)}=\tilde{B}\tilde{A}$

De même, en exploitant la version (2) de la définition, on voit immédiatement que(**)

Si $g$ est symétrique, alors

$\forall A\in\mathcal{L}(E,E), \quad\tilde{\tilde{A}}=A$

En particulier,

Si $g$ est symétrique, tout endomorphisme de $E$ s’écrit de manière unique comme somme d’un endomorphisme $g$ -symétrique ( $\tilde{X}=X$ ) et d’un endomorphisme $g$ -antisymétrique ( $\tilde{X}=-X$ ).

La $g$ -transposition permet d’étendre $g$ en une forme bilinéaire sur $\mathcal{L}(E,E)$ , en posant

$g(A,B)=\mathrm{tr}\left(\tilde{A}\circ B\right)$

dont on vérifie facilement qu’elle est non dégénérée tout comme $g$ et qu’elle est symétrique si $g$ l’est. Nous l’utiliserons dans un billet ultérieur, consacré aux comatrices.

Qu’est-ce que les deux transpositions ont à voir avec celle des matrices?

Eh bien, la matrice qui représente $A\in\mathcal{L}(E,E)$ dans une base de $E$ et celle qui représente $^tA$ dans la base duale sont transposées l’une de l’autre mais la transposition matricielle n’a généralement rien à voir avec la $g$ -transposition.

A une exception près, cependant, et importante : si $E$ est réel et si $g$ est un produit scalaire alors la matrice représentant $\tilde{A}$ dans une base orthonormée est la transposée de celle qui représente $A$ .

En particulier, si on munit $\mathbb R^n$ de son produit scalaire canonique $g_n$ , alors la forme bilinéaire induite sur $\mathcal{L}(\mathbb R^n,\mathbb R^n)\equiv\mathcal M_n(\mathbb R)$ est donnée par

$g_n(A,B)=\sum_{i,j=1}^n(\tilde{A})_{ij}B_{ji}=\sum_{i,j=1}^n{A}_{ji}B_{ji}$

C’est donc le produit scalaire canonique de $\mathcal M_n(\mathbb R)\equiv \mathbb R^{n^2}$ .

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(*) L’espace des applications linéaires d’un espace vectoriel $E$ dans un espace vectoriel $F$ sera désigné par $\mathcal L (E,F)$ .
(**) En dimension finie, on identifie canoniquement $E$ et $E^{**}$ , $x\in E$ étant identifié à $\xi\in E^*\mapsto \xi(x)\in \mathbb K$ , et on vérifie facilement que $^t(\ ^tA)=A$ .