A propos de la comatrice I

La comatrice com(M) d’une matrice carrée M de taille n est la matrice de même format dont l’élément à l’intersection d’une ligne et d’une colonne est le cofacteur dans M de l’élément y occupant la même position.

J’écris ce petit article pour montrer qu’on peut lui donner une signification intrinsèque. Les formules matricielles qui en découlent sont bien connues et je ne prétends donc pas être original sur ce point.

Considérons un espace vectoriel réel E, de dimension n et muni d’une forme bilinéaire symétrique et non dégénérée g.

Comme expliqué dans ce billet, la forme g induit une involution \widetilde{\    } sur l’algèbre \mathcal L(E,E) des endomorphismes de E et s’étend grâce à elle en une forme bilinéaire symétrique et non dégénérée sur cette algèbre, définie par

g(A,B)=\mathrm{tr}\left(\tilde{A}\circ B\right)

Cette forme met en dualité l’algèbre et son dual. En particulier, on peut appliquer cela à la différentielle de la fonction déterminant : pour tout A\in\mathcal{L}(E,E), il existe un unique endomorphisme A^\diamond de E vérifiant

\forall H\in \mathcal{L}(E,E),\quad\det_{*A}(H)=g(A^\diamond,H)

Il est aisé de calculer \diamond pour les endomorphismes non singuliers :

Si A est non singulier, alors A^\diamond=\det(A)\tilde{A}^{-1}

En effet,

\begin{array}{lcl}\det_{*A}(H)&=&\frac{d}{dt}\left(\det(A\exp(tA^{-1}H))\right)_{t=0}\\[1ex]&=&\frac{d}{dt}\left(\det(A)\exp(t\mathrm{tr}(A^{-1}H))\right)_{t=0}\\[1ex]&=&\det(A)\mathrm{tr}(A^{-1}H)\\[1ex]&=&\det(A)g(\tilde{A}^{-1},H)\end{array}

La formule que nous venons de vérifier a quelques conséquences que l’on établit toutes de la même façon : on les vérifie d’abord pour des endomorphismes non singuliers, grâce à la formule — et souvent trivialement, puis on les étend à toute l’algèbre des endomorphismes par continuité, en profitant du fait que l’ensemble des endomorphismes non singuliers y est dense.

Ainsi, comme premier exemple, on obtient immédiatement(*)

Si g est un produit scalaire, dans toute base orthonormée, la matrice représentant A^\diamond est la comatrice de celle qui représente A.

Ensuite, dans le cas général, elle permet de prouver que

\forall A,B\in\mathcal{L}(E,E), \quad (AB)^\diamond=A^\diamond B^\diamond

En effet, ceci en résulte immédiatement lorsque A, B sont non singuliers.

Enfin,

\forall A\in\mathcal{L}(E,E),\quad \det(A^\diamond)=(\det(A))^{n-1}

En effet, quelque soit g, il découle de la définition de la g-transposition \widetilde{\     } qu’elle préserve le déterminant.

😉
__________
(*) Pour un produit scalaire, la g-transposition \widetilde{\     } correspond, dans les bases orthonormées, à la transposition matricielle.

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