A propos de la comatrice II – Les dérivations du produit vectoriel

La comatrice et le produit vectoriel font, assez naturellement, bon ménage. Je vais présenter ici une formule les impliquant tous les deux et de laquelle je déduirai l’algèbre des dérivations du produit vectoriel. Nous allons utiliser ici les résultats de cet article.

Considérons un espace vectoriel réel E, de dimension finie n>1, orienté et muni d’un produit scalaire g.

Avec ces données on dispose sur E d’un produit mixte

(x_1,\ldots,x_n)\in E^n\mapsto [x_1,\ldots,x_n]\in\mathbb R

et d’un produit vectoriel

(x_1,\ldots,x_{n-1})\in E^{n-1}\mapsto x_1\wedge \cdots\wedge x_{n-1}\in E

Le premier associe à des éléments de E le déterminant de la matrice de leurs composantes dans une base orthonormée positive, par ailleurs quelconque, tandis que le second est défini par la relation(*)

\forall x_1,\ldots,x_n\in E, \quad [x_1,\ldots,x_n]=g(x_1\wedge \cdots\wedge x_{n-1},x_n)

Voici la formule annoncée.

Pour tout A\in\mathcal{L}(E,E) et tous x_i\in E, 0<i<n, on a

(1) A(x_1)\wedge\cdots\wedge A(x_{n-1})=A^\diamond(x_1\wedge \cdots\wedge x_{n-1})

Par continuité, il suffit de vérifier la formule lorsque A est non singulier. Dans ce cas, quel que soit x\in E,

\begin{array}{lcl}g(A(x_1)\wedge\cdots\wedge A(x_{n-1}),x)&=&[A(x_1),\ldots,A(x_{n-1}),x]\\[1ex]&=&\det(A)[x_1,\ldots,x_{n-1},A^{-1}(x)]\\[1ex]&=&\det(A)g(x_1\wedge \cdots\wedge x_{n-1},A^{-1}(x))\\[1ex]&=&\det(A)g(\tilde{A}^{-1}(x_1\wedge \cdots\wedge x_{n-1}),x)\end{array}

D’où le résultat puisque

(2) A^\diamond=\det(A)\tilde{A}^{-1}

En dérivant la relation (1) par rapport à A en l’identité et dans la direction de H\in\mathcal{L}(E,E), on obtient

(3) \sum_{i=1}^{n-1}x_1\wedge\cdots\wedge H(x_i)\wedge\cdots\wedge x_{n-1}=H^\circ(x_1\wedge \cdots\wedge x_{n-1})

H^\circ désigne la différentielle de \diamond évaluée en \mathrm{id}_E et dans la direction de H. Vu (2),

H^\circ = \mathrm{tr}(H)\mathrm{id}_E-\tilde{H}

Nous pouvons à présent déterminer les dérivations du produit vectoriel, c’est-à-dire les endomorphismes D\in\mathcal{L}(E,E) tels que

D(x_1\wedge \cdots\wedge x_{n-1})=\sum_{i=1}^{n-1}x_1\wedge\cdots\wedge D(x_i)\wedge\cdots\wedge x_{n-1}

pour tous x_i\in E, 0<i<n.

Si n>2, les dérivations du produit vectoriel de E sont les applications linéaires antisymétriques pour g.

En effet, vu (3), D est une dérivation si, et seulement si, D=D^\circ, c’est-à-dire

D+\tilde{D}=\mathrm{tr}(D)\mathrm{id}_E

En prenant la trace des deux membres de cette relation(**), nous obtenons (n-2)\mathrm{tr}(D)=0, ce qui nous permet de conclure.

Le cas de la dimension 2 est un peu particulier. D’abord, le produit vectoriel n’a alors qu’un seul argument et est la rotation d’angle \pi/2. Ensuite, ses dérivations sont les applications linéaires qui commutent avec lui.

La rotation est une structure complexe de E et les dérivations du produit vectoriel sont donc les applications linéaires complexes de E muni de cette structure. Dans une base orthonormée positive, ce sont les applications représentées par les matrices de la forme

\begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix}

__________
(*) Avec les notations de ce billet, on a donc

\left(x_1\wedge \cdots\wedge x_{n-1}\right)^\flat(x)=[x_1,\ldots,x_{n-1},x]

(**) Quel que soit g, la g-transposition \widetilde{     } conserve les invariants par similitude, dont le déterminant et la trace.

Publicités

2 réflexions sur “A propos de la comatrice II – Les dérivations du produit vectoriel

Laisser un commentaire

Entrez vos coordonnées ci-dessous ou cliquez sur une icône pour vous connecter:

Logo WordPress.com

Vous commentez à l'aide de votre compte WordPress.com. Déconnexion / Changer )

Image Twitter

Vous commentez à l'aide de votre compte Twitter. Déconnexion / Changer )

Photo Facebook

Vous commentez à l'aide de votre compte Facebook. Déconnexion / Changer )

Photo Google+

Vous commentez à l'aide de votre compte Google+. Déconnexion / Changer )

Connexion à %s