En guise d’exercice : une sorte d’équation différentielle

Il est demandé de trouver toutes les fonctions $u$ , à valeurs réelles et définies sur un intervalle ouvert $I\subset \mathbb R$ où elles sont deux fois continûment dérivables, qui sont telles que, dans $I$ ,

$\left(\dot{u}\right)^2=u\ddot{u}$

10 réactions sur “En guise d’exercice : une sorte d’équation différentielle”

Ca sent l’exponentielle ce truc 😉 D’ailleurs, en notant ce que donne (u/u’)’, il me semble bien avoir la solution…

Réponse

Pierre Lecomte dit :

19 septembre 2012 à 9:12

En effet, cela « sent l’exponentielle ». Je considérerais plutôt $\dot{u}/u$ mais le problème — pour autant qu’il y en ait un — c’est qu’on doit alors supposer que $u$ n’a aucun zéro. La (petite) difficulté de la question réside là. Mais vous y avez peut-être déjà songé, et règlé le problème. A vous lire …

Réponse
- MR dit :
  
  20 septembre 2012 à 7:46
  
  J’y ai songé de la manière suivante : soit u est nul sur tout l’intervalle, ce qui donne une solution triviale u = 0 à la question, soit u est nul sur un ensemble discrêt de points. Dans ce cas, je considère l’équation sur n’importe quel intervalle qui ne comprend aucun zéro, ce qui donne u = a exp (b x), avec a != 0. Comme c’est la seule forme possible de solution non-nulle sur cet intervalle a priori quelconque, on en déduit qu’elle est valable dans |R (u et toutes ses dérivées sont de signes constant).
PB dit :

20 septembre 2012 à 10:56

«soit u est nul sur tout l’intervalle […] soit u est nul sur un ensemble discrêt de points»

Bonjour,
Pourquoi l’ensemble des zéros de u ne pourrait-il pas être autrement que discret ou égal à tout l’intervalle ?

Réponse
- MR dit :
  
  20 septembre 2012 à 12:59
  
  Bonjour, oui, c’est vrai que la fonction n’est a priori que deux fois continûment dérivable, donc on pourrait supposer des sous-intervalles continus de I où u est nulle et où elle est non-nulle dans l’un ou l’autre sous-intervalle contigu, avec $u = u' = u'' = 0$ aux bornes (par exemple, u(x) est nulle lorsque x est inférieur ou égal à 0, et est un polynôme dont tous les termes sont une puissance de x supérieure ou égale à 3 lorsque x est positif). Une formulation plus précise serait donc « soit u est nulle sur tout l’intervalle, soit il existe au moins un sous-intervalle continu de I dans lequel u est non-nulle ».

Merci beaucoup. Cela semble coller. Je dis semble car je ne comprends pas très bien la dernière phrase.

Ma méthode est fort proche. En ce qui me concerne, lorsque $u$ n’est pas nul dans son domaine de définition $I$ , je considère une composante connexe de l’ensemble des points en lesquels $u$ ne s’annule pas. C’est un intervalle $J$ dont je démontre qu’il coïncide avec $I$ . D’abord, comme vous, j’arrive à la conclusion que, dans $J$ , $u$ est un multiple non nul d’une exponentielle. Ensuite, par l’absurde, si une borne de $J$ se trouve dans $I$ alors on a une contradiction : la limite de $u$ en cette borne doit à la fois être nulle et non nulle, car la borne en question est limite de zéros de $u$ .

Réponse

Pierre Lecomte dit :

20 septembre 2012 à 2:53

Pour être clair, cette réponse réfère à la seconde intervention de MR.

Réponse

J’adhère à la formulation de notre hôte. Je vais encore paraphraser pour me sentir totalement convaincu : soit $u$ une solution non-identiquement nulle et $J$ une composante connexe où $u$ est non-nulle. En considérant $a$ l’infimum de $J$ , alors

$\lim_{x \to a} u(x) = u(a)$

par continuité, or la limite à droite est non-nulle (car sur $J$ , $u$ est *une* exponentielle, fixée, donc on calcule la limite explicitement, et qui ne vaut pas $0$ ). On en déduit que $u(a)$ est non-nulle, d’où $u$ est non nulle sur un voisinage de $a$ (continuité), donc $a$ n’était pas l’infimum de $J$ .