En guise d’exercice : longueur des segments intérieurs à un triangle

Il s’agit de montrer ceci :

Dans un plan, deux points D,E intérieurs à un triangle de sommets A,B,C

sont séparés par une distance ne dépassant pas \sup\{\|AB\|,\|BC\|,\|CA\|\}.

Bon amusement!

8 réflexions sur “En guise d’exercice : longueur des segments intérieurs à un triangle

  1. La droite (DE) coupe deux côtés distincts du triangle, disons [AB] et
    [AC], en deux points distincts, disons F sur [AB] et G sur [AC].
    Alors on a DE < FG. Notons D (resp. D') la droite orthogonale à FG
    et passant par F (resp. G).

    Maintenant supposons que FG > AB et FG > AC ; le but est de montrer
    qu’on a alors FG < BC. Les droites parallèles D et D' partagent le
    plan en trois parties : une bande et deux demi-plans.

    La bande contient le point A (car FG>AB>AF et FG>AC>AG), et chacun des
    demi-plans contient l’un des points B ou C. Il vient alors que BC > FG.

    • J’achète. C’est subtil comme preuve et cela repose sur des phénomènes non triviaux du genre une droite passant par un point intérieur coupe la frontière d’un convexe en deux points et d’autres relatifs à l’orthogonalité. Ma preuve, légèrement différente, repose aussi sur ces mêmes propriétés.

      Comme le laisse entendre PB, c’est une évidence dont il faut se méfier.
      😉

  2. En ce qui me concerne, avec les notaions de MathOMan, je fais glisser F vers le sommet A ou B qui l’écarte du pied de la projection orthogonale de G sur (AB), ce qui augmente GF. Si ce sommet est A, je fais alors glisser G vers C et on a EF < AC, si c'est B, alors je fais glisser G vers le sommet A ou C qui l'écarte le plus du pied de la hauteur issue de B, ce qui montre de nouveau que EF est moindre qu'un des côtés du triangle.

  3. Bonjour, j’essaye quelque chose :

    Lemme 1 (très élémentaire). Une fonction t\mapsto ut^2+vt+w avec u>0, v,w réels, définie sur un segment [a.b], n’atteint pas son maximum en un point intérieur à [a,b].

    Lemme 2 (conséquence immédiate du lemme 1). Si E est un point du plan et si D est un point qui parcourt un segment [A,B], alors la distance ED ne prend pas sa valeur maximale en un point intérieur à [A,B].

    Lemme 3 (diamètre d’un polygone convexe (et compact)). Le diamètre \sup_{(A,B)\in X^2} AB d’un polygone convexe X est atteint pour certains sommets A et B de X.

    Sauf erreur, le lemme 3 est une conséquence immédiate du lemme 2. Et le lemme 3 répond à la question car tout triangle est un polygone convexe🙂

  4. De manière plus compacte : soit C un convexe compact (par exemple l’intérieur d’un triangle). L’application de C\times C dans \mathbb{R} définie par (x,y)\mapsto ||x-y||^2 est convexe (comme composée d’une application linéaire et d’une application convexe) donc atteint son maximum en un point extrémal.

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