Matrices complexes versus matrices réelles I

Il y a peu, sur le forum M@th en Ligne, PB s’interrogeait sur la nature topologique du quotient de groupes(*)

E:=GL(n,\mathbb C)/GL(n,\mathbb R)

suggérant que cet espace topologique pourrait bien être connexe et compact, généralisant ainsi le cas n=1 pour lequel c’est vrai (voir par exemple ce billet où on vérifie qu’il s’agit alors du cercle trigonométrique).

L’espace E est connexe car GL(n,\mathbb C) l’est et le passage au quotient \varpi:GL(n,\mathbb C)\to E, surjectif, est continu. Il s’avère par contre qu’il n’est compact que si n=1.

Je me propose de vérifier que

(A) Muni de la structure de variété quotient, E est naturellement difféomorphe à un ouvert de la variété grasmannienne G_{2n,n}, ensemble des sous-espaces vectoriels de dimension n de \mathbb R^{2n}.

et d’en déduire que,

(B) Pour n>1, E n’est pas compact.

Nous allons utiliser régulièrement le fait suivant : si H est un sous-groupe de Lie fermé d’un groupe de Lie G, alors le quotient G/H admet une unique structure de variété, dite structure de variété quotient, pour laquelle le passage au quotient est une submersion. Celle-ci est une application ouverte et le quotient est séparé. De plus, G opère transitivement à gauche sur G/H par

g\cdot (g' \mod H):= (gg') \mod H

Ceci s’applique en particulier à E le sous-groupe GL(n,\mathbb R) de GL(n,\mathbb C) étant fermé. En particulier,

\dim E=\dim GL(n,\mathbb C)-\dim GL(n,\mathbb R)=n^2

Ceci s’applique aussi au groupe GL(2n,\mathbb R) et à son sous-groupe H_0 formé des matrices non singulières de la forme

\begin{pmatrix}U&V\\ 0 &W\end{pmatrix}

dans laquelle les blocs U,V,W sont carrés et de taille n, ce qui donne un moyen aisé de munir G_{2n,n}(\mathbb R) de sa structure de variété. Il est clair en effet que l’application qui associe à la classe M \mod H_0 l’enveloppe linéaire des n premières colonnes de M est une bijection entre le quotient GL(2n,\mathbb R)/H_0 et G_{2n,n}(\mathbb R). On met alors sur ce dernier la structure de variété qui fait de cette bijection un difféomorphisme. Par la suite, on confondra M \mod H_0 et son image et on notera p: GL(2n,\mathbb R)\to G_{2n,n}(\mathbb R) le passage au quotient après cette identification.

La variété différentielle G_{2n,n}(\mathbb R) est appelée variété grasmannienne des n-plans de \mathbb R^{2n}. On a

\dim G_{2n,n}(\mathbb R)=\dim GL(2n,\mathbb R)-\dim H_0=n^2

De plus, G_{2n,n}(\mathbb R) est séparé, connexe et compact.

Nous savons déjà qu’il est séparé. Il est connexe car il est l’image par p, qui est continu, de la composante connexe du neutre de GL(2n,\mathbb R), qui est l’ensemble des matrices de tailles 2n de déterminant positif. En effet, \xi=p(M) est aussi l’image par p de la matrice obtenue en changeant le signe de la colonne la plus à droite de M et dont le déterminant est opposé à celui de M.

Enfin, G_{2n,n}(\mathbb R) est compact car c’est l’image par p du groupe orthogonal O(2n). En effet, tout \xi\in G_{2n,n}(\mathbb R) admet une base orthonormée. Complétée par une base orthonormée de son complément orthogonal \xi^\perp, elle forme les colonnes d’une matrice orthogonale se projetant sur \xi.

Les protagonistes ayant été brièvement présentés, nous poursuivrons notre discussion dans un autre billet.

__________
(*) Pour tout corps \mathbb K, GL(n,\mathbb K) désigne l’ensemble des matrices carrées de taille n, à coefficients dans \mathbb K et non singulières.

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