Matrices complexes versus matrices réelles II

Nous allons démontrer la propriété (A) de ce billet, dont nous conservons les notations, en montrant que l’application

\varphi : E\to G_{2n,n}(\mathbb R)

qui associe à la classe \varpi(A) d’une matrice A de parties réelle et imaginaire respectives P,Q l’enveloppe linéaire des colonnes de

\begin{pmatrix}P\\Q\end{pmatrix}

est le difféomorphisme annoncé.

Pour cela, on va utiliser l’homomorphisme de groupes de Lie(*)

\varphi_0:A=P+iQ\in GL(n,\mathbb C)\mapsto \begin{pmatrix}P&-Q\\Q&P\end{pmatrix}\in GL(2n,\mathbb R)

Il vérifie évidemment p\circ\varphi_0=\varpi\circ\varphi. En particulier, comme \varpi est une submersion surjective et p\circ\varphi_0 est de classe C^\infty, \varphi est de classe C^\infty.

Nous allons voir ensuite que l’application linéaire tangente \varphi_* est partout injective. Ceci prouvera (A) car \varphi est injectif et E et G_{2n,n}(\mathbb R) sont de même dimension.

Observons d’abord que \varphi est de rang constant. De fait, en termes des actions à gauche de GL(n,\mathbb C) sur E et de GL(2n,\mathbb R) sur la variété grasmannienne, il vient (parce que \varphi_0 est un homomorphisme)

\forall x\in E : \quad \varphi(A\cdot x)=\varphi_0(A)\cdot \varphi(x)

Il suffit donc de vérifier l’injectivité de \varphi_{*x_0} en un point x_0 bien choisi, en l’occurrence, l’image de la matrice unité I_n de dimension n.

Soit donc h\in \ker \varphi_{*\varpi(I_n)}. C’est l’image par \varpi_{*I_n} d’une matrice carrée de taille n, complexe, k, qui vérifie

p_{*I_{2n}}(\varphi_{0*I_n}k)=0

La matrice \varphi_{0*I_n}k est de la forme

\begin{pmatrix}U&-V\\V&U\end{pmatrix}

Pour qu’elle soit annulée par p_{*I_{2n}}, c’est-à-dire tangente à H_0, il faut que V=0, autrement dit que k soit réel et, donc, que h soit nul.

La cause est entendue. 😉

__________
(*) Noter que \det \varphi_0(A)=|\det A|^2 de sorte que \varphi_0(A) est non singulier si, et seulement si, A l’est.

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