Matrices complexes versus matrices réelles III

Ce billet est la suite des deux précédents. Nous allons y vérifier la propriété (B) annoncée dans le premier. Pour rappel, il s’agit de montrer que, pour n>1, E=GL(n,\mathbb C)/GL(n,\mathbb R)) n’est pas compact.

Procédons par l’absurde et supposons E compact. Alors F=\varphi(E) est compact et, comme G_{2n,n}(\mathbb R) est séparé, F est fermé. Or il est ouvert. Il coïncide donc avec G_{2n,n}(\mathbb R) qui est connexe. La contradiction vient du fait que F\neq G_{2n,n}(\mathbb R).

Pour montrer que F\neq G_{2n,n}(\mathbb R), considérons des éléments linéairement indépendants a_k=u_k+iv_k, k=1,...,n-1, de \mathbb C^n et formons la matrice A_0=(a_1\ \cdots\ a_{n-1}\ ia_{n-1}) dont nous noterons P_0,Q_0 les parties réelle et imaginaire respectivement. Comme a_1,\ldots,a_{n-1},ia_{n-1} sont linéairement indépendants sur \mathbb R, le sous-vectoriel \xi_0\subset \mathbb R^{2n} engendré par les colonnes de

\begin{pmatrix}P_0\\Q_0\end{pmatrix}

est de dimension n.

Nous allons conclure en montrant que \xi_0\notin F. Si tel n’était pas le cas, il existerait une matrice A=P+iQ\in GL(n,\mathbb C) telle que \xi_0 soit engendré par les colonnes de

\begin{pmatrix}P\\Q\end{pmatrix}

Il existerait donc aussi une matrice carrée réelle R de taille n telle que

P=P_0R \quad \& \quad Q=Q_0R

et l’on aurait

\det A=\det(A_0R)=\det A_0\det R=0

puisque les colonnes de A_0 sont linéairement dépendantes (sur \mathbb C) : une contradiction!

Je conclus ce billet par une observation : F est l’ensemble des sous-espaces vectoriels de dimension n de \mathbb R^{2n} qui admettent des bases

\begin{pmatrix}\begin{pmatrix}u_1\\v_1\end{pmatrix},\cdots,\begin{pmatrix}u_n\\v_n\end{pmatrix}\end{pmatrix}

(où les u et les v sont dans \mathbb R^n) telles que (u_1+iv_1,\ldots,u_n+iv_n) soit une base de \mathbb C^n.

Je me pose encore certaines questions à propos de ces sous-espaces vectoriels et reviendrai peut-être dessus un de ces jours.

😉

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