A propos d’une variété grasmannienne I

Récemment, nous avons identifié le quotient E:=GL(n,\mathbb C)/GL(n,\mathbb R) à un ouvert F de la variété grasmannienne G_{2n,n}(\mathbb R) des n-plans de \mathbb R^{2n}, ouvert qui est propre lorsque n>1, ce que nous supposerons dans ce billet et le suivant.

L’application \varphi de E dans la grasmannienne réalisant cette identification associe à la classe de A\in GL(n,\mathbb C) modulo GL(n,\mathbb R) l’enveloppe linéaire des colonnes de la matrice

\tau(A):=\begin{pmatrix}\mathcal RA\\\mathcal IA\end{pmatrix}

que l’on obtient en superposant les lignes de la partie réelle de A à celles de sa partie imaginaire.

En fait, le groupe GL(n,\mathbb R) agit sur l’algèbre gl(n,\mathbb C) de toutes les matrices carrées complexes de taille n et, en remplaçant GL(n,\mathbb C) par un plus grand ouvert, \omega_n, de cette dernière, l’application \varphi s’étend en une bijection(*)

\omega_n/GL(n,\mathbb R) \to G_{2n,n}(\mathbb R)

L’ouvert \omega_n est l’ensemble de toutes les matrices complexes A pour lesquelles les colonnes de \tau(A) sont linéairement indépendantes. C’est encore l’ensemble des matrices complexes A dont les colonnes sont linéairement indépendantes sur \mathbb R. Nous verrons à l’occasion de quelles matrices est constitué \omega_n\setminus GL(n,\mathbb C). C’est assez amusant.

Il s’avère que l’action de GL(n,\mathbb R) sur \omega_n est régulière : le quotient \omega_n/GL(n,\mathbb R) admet une structure de variété (nécessairement unique) faisant du passage au quotient une submersion et que pour celle-ci, la bijection \varphi est un difféomorphisme(**).

La vérification est simple mais un peu technique et sera présentée dans un autre billet.

L’application \tau : gl(n,\mathbb C)\to \mathbb R^{2n}_n est une bijection \mathbb R-linéaire de l’espace des matrices complexes carrées de taille n sur celui des matrices réelles ayant 2n lignes et n colonnes. Elle est de plus équivariante pour les actions de GL(n,\mathbb R) sur ces espaces, actions consistant dans les deux cas en la multiplication à droite par les éléments de ce groupe.

Elle transforme l’ouvert \omega_n en l’ensemble(***) M(2n,n,n)\subset \mathbb R^{2n}_n formé des matrices de rang n, qui est un ouvert de \mathbb R^{2n}_n. Pour simplifier les notations, nous le noterons \mathcal V_n.

Etudier le quotient \omega_n/GL(n,\mathbb R) revient donc au même que d’étudier le quotient \mathcal V_n/GL(n,\mathbb R), ce que nous ferons car c’est un rien plus commode au niveau de l’exposé.

Je vous donne rendez-vous pour cela dans le prochain billet.

__________
(*) Nous noterons encore \varphi cette extension.
(**) La structure de variété de G_{2n,n}(\mathbb R) est définie dans ce billet.
(***) Voir ce billet.

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