A propos d’une variété grasmannienne II

Les notations sont celles du billet précédent. Il s’agit ici de montrer que la structure de variété quotient de \mathcal V_n/GL(n,\mathbb R) existe. Nous utilisons pour cela le critère suivant :

Une action d’un groupe de Lie G sur une variété différentielle Vest régulière si, et seulement si, son graphe

\{(x,x\cdot g)| x\in V, g\in G\}

est une sous-variété plongée et fermée de V\times V.

On montre que le graphe \mathcal G de l’action de GL(n,\mathbb R) sur \mathcal V_n est une variété plongée en paramétrant un voisinage de chacun de ses points(*).

Voici une façon de paramétrer un voisinage de (A_0,B_0)\in \mathcal G. Il existe dans A_0 un mineur non singulier de taille n : on peut choisir un ensemble I de n indices tel que(**) \det(\vartheta_I(A_0))\neq 0. On désigne par \omega_I l’ouvert

\{A\in\mathcal V_n|\det(\vartheta_I(A))\neq 0\}

de \mathcal V_n. Alors, comme on le vérifie facilement, le voisinage ouvert \mathcal G\cap (\omega_I\times\mathcal V_n) de (A_0,B_0) dans \mathcal G est paramétré par l’application

(A,R)\in \omega_I\times GL(n,\mathbb R)\mapsto (A,AR)\in \mathcal V_n\times\mathcal V_n

Il faut à présent expliquer pourquoi \mathcal G est un fermé de \mathcal V_n\times\mathcal V_n. Considérons donc une suite k\in\mathbb N\mapsto (A_k,B_k)\in \mathcal G convergeant vers (A,B)\in\mathcal V_n\times\mathcal V_n et montrons que (A,B)\in\mathcal G.

Tout d’abord, B_k est dans l’orbite de A_k. Il existe donc R_k\in GL(n,\mathbb R) tel que B_k=A_kR_k. Ensuite, il existe un ensemble I de n indices tel que \det(\vartheta_I(A))\neq 0. Il existe donc K tel que

k>K\quad \Longrightarrow \quad \det(\vartheta_I(A_k))\neq 0

En conséquence, si k>K, alors

R_k=\vartheta_I(A_k)^{-1}\vartheta_I(B_k)

De là, \lim_{k\to\infty}R_k=R:=\vartheta_I(A)^{-1}\vartheta_I(B) puis B=\lim_{k}A_kR_k=AR. Comme les colonnes de B sont linéairement indépendantes, R est non singulier de sorte que (A,B)\in\mathcal G et c’est gagné!

Observons que \mathcal V_n/GL(n,\mathbb R) est compact car c’est l’image par le passage au quotient de l’ensemble des éléments de\mathcal V_n dont les colonnes sont orthonormées.

La structure de variété quotient de \mathcal V_n/GL(n,\mathbb R) coïncide avec celle de G_{2n,n}(\mathbb R) introduite ici. J’avais l’intention de l’expliquer dans un autre billet mais, tout compte fait, je vous laisse vérifier cela à titre d’exercice.

😉
__________
(*) Je vais indiquer comment construire les paramétrages nécessaires mais je vous laisse la vérification détaillée du fait qu’il s’agit bien de paramétrages.
(**) Par convention, je note \vartheta_I(A) la matrice obtenue en ôtant de A les lignes dont l’indice ne figure pas dans I. L’application

\vartheta_I : \mathbb R^{2n}_n\to \mathbb R^n_n

est linéaire, donc de classe C^\infty.

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