A propos d’un ouvert particulier de l’ensemble des matrices carrées complexes

Nous allons décrire ici l’ouvert \omega_n de l’ensemble gl(n,\mathbb C) des matrices carrées complexes de taille n, ouvert introduit dans cet article où nous l’avons défini comme étant formé des matrices dont les colonnes sont linéairement indépendantes sur \mathbb R.

Cet ouvert inclut GL(n,\mathbb C) qui est l’ensemble des matrices dont les colonnes sont linéairement indépendantes sur \mathbb C et avec lequel il coïncide lorsque n=1.

Lorsque n>1, il y a beaucoup de monde dans \omega_n\setminus GL(n,\mathbb C). Par exemple, \omega_2 est l’union de GL(2,\mathbb C) et de l’ensemble des matrices de la forme \begin{pmatrix}u & zu\end{pmatrix}u\in\mathbb C^2 n’est pas nul et z est un nombre complexe de partie imaginaire non nulle.

Cet exemple est, d’une certaine façon, générique. En effet,

Les éléments de \omega_n\setminus GL(n,\mathbb C) sont les matrices qui, à l’ordre près des colonnes, sont de la forme

(1) \begin{pmatrix}U&UZ\end{pmatrix},\quad U\in\mathbb C^n_r, \quad Z\in\mathbb C^r_{n-r}

U est de rang r<n et où la partie imaginaire de Z est de rang n-r. En particulier, r\geqslant n/2.

Considérons en effet une matrice A\in gl(n,\mathbb C) de rang r<n. Quitte à permuter ses colonnes, nous pouvons supposer que les r premières sont linéairement indépendantes (sur \mathbb C), les autres en étant des combinaisons linéaires à coefficients complexes. Autrement dit A est de la forme (1), où U est de rang r.

Une combinaison linéaire à coefficients réels des colonnes de A s’écrit donc U(p+Zq)p\in\mathbb R^r et q\in\mathbb R^{n-r} et est nulle si, et seulement si,

(2) p+Zq=0

puisque les colonnes de U sont linéairement indépendantes sur \mathbb C.

La matrice A appartient donc à \omega_n si, et seulement si, le système (2) n’admet que la solution p=0, q=0. En passant aux parties réelles et imaginaires de ce système, on voit immédiatement que ceci équivaut au fait que l’équation (\mathcal IZ)q=0 n’admet que la solution nulle, autrement dit que la partie imaginaire de Z soit de rang n-r.

Et voilà!😉

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