A propos d’un ouvert particulier de l’ensemble des matrices carrées complexes II

Dans ce billet, nous poursuivons l’étude de l’ouvert \omega_n\subset gl(n,\mathbb C) formé des matrices dont les colonnes sont linéairement indépendantes sur \mathbb R, étude entamée ici.

Cet ouvert admet la décomposition

\omega_n=\bigcup_{\lceil\frac n 2 \rceil\leqslant r\leqslant n}\omega_n^r

\omega_n^r est formé des matrices de rang r appartenant à \omega_n.

Je me propose d’identifier l’image F^r de \omega_n^r dans le quotient(*)

G_{2n,n}(\mathbb R)=\omega_n/GL(n,\mathbb R)=\bigcup_{\lceil\frac n 2 \rceil\leqslant r\leqslant n}F^r

J’ai besoin pour cela d’introduire quelques notations. D’abord, nous noterons J la matrice(**)

\varphi_0(iI_n)=\begin{pmatrix}0&-I_n\\I_n&0\end{pmatrix}

Ensuite, introduisons l’application \tau:\mathbb C^n\to \mathbb R^{2n} en posant(***)

\tau(u)=\begin{pmatrix}\mathcal R u\\ \mathcal I u\end{pmatrix}

C’est une bijection \mathbb R-linéaire. Elle étend à \mathbb C^n l’application de même nom définie ici sur gl(n,\mathbb C).

Enfin, pour tout sous-espace vectoriel \xi\subset \mathbb R^{2n}, nous désignerons par \xi^\diamond le sous-espace vectoriel complexe de \mathbb C^n engendré par \tau^{-1}(\xi).

Une propriété

Pour tout sous-espace vectoriel \xi\subset \mathbb R^{2n},

\dim_\mathbb C\xi^\diamond=\dim\xi-\frac 1 2 \dim(\xi\cap J\xi)

En effet, si (e_1,...,e_d) est une base d’un sous-espace vectoriel \xi de \mathbb R^{2n}, alors \xi^\diamond est l’enveloppe linéaire sur \mathbb C des \tau^{-1}(e_k). C’est encore l’enveloppe linéaire sur \mathbb R des \tau^{-1}(e_k) et des i\tau^{-1}(e_k)=\tau^{-1}(Je_k). Autrement dit

\xi^\diamond =\tau^{-1}(\xi)+\tau^{-1}(J\xi)

De là,

\begin{array}{lcl}\dim_\mathbb C\xi^\diamond&=&\frac 1 2 \dim_\mathbb R(\tau^{-1}(\xi)+\tau^{-1}(J\xi))\\[1ex]&=&\frac 1 2\dim(\xi+J\xi)\\[1ex]  &=&\frac 1 2\left(\dim\xi+\dim J\xi-\dim(\xi\cap J\xi)\right)\\[1ex]&=&\dim\xi-\frac 1 2\dim(\xi\cap J\xi)\end{array}

Un corollaire

Il est clair que \xi\in F^r si, et seulement si, \xi^\diamond est de dimension complexe r. D’après la propriété ci-dessus, il vient dès lors

F^r=\left\{\xi\in G_{2n,n}(\mathbb R)\big|\dim(\xi\cap J\xi)=2(n-r)\right\}

En particulier F=F^n est l’ensemble des sous-espaces vectoriels \xi de \mathbb R^{2n} tels que

\mathbb R^{2n}=\xi\oplus J\xi

Il est facile de déterminer dans quel F^k se trouve un sous-espace vectoriel \xi de dimension n de \mathbb R^{2n} lorsqu’il est donné par des équations cartésiennes Tx=0, où T\in \mathbb R^n_{2n} est de rang n. En effet, J\xi admet alors les équations cartésiennes TJx=0 car l’inverse de J est -J. Par suite,

On a \xi\in F^r si, et seulement si, le rang de la matrice

\begin{pmatrix}T\\TJ\end{pmatrix}

vaut 2r.

Un exemple

Voici un exemple pour n=2. La matrice T est

\begin{pmatrix}2&-1&0&-2 \\ 0&2&2&-1\end{pmatrix}

Par suite,

\begin{pmatrix}T\\TJ\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&-1&0&-2 \\ 0&2&2&-1 \\ 0&-2&-2&1 \\ 2&-1&0&-2\end{pmatrix}

Le rang de cette dernière matrice valant deux, le plan \xi défini par les équations Tx=0 appartient donc à F^1.

__________
(*) Pour rappel, il s’agit de la variété grasmannienne des n-plans de \mathbb R^{2n}. Noter aussi que chaque \omega_n^r est stablilisé par l’action de GL(n,\mathbb R). Enfin, F^n n’est autre que l’ouvert noté F dans ce billet.
(**) L’application \varphi_0 est introduite ici; I_n est la matrice unité de dimension n.
(***) Les symboles \mathcal R, \mathcal I désignent les parties réelles et imaginaires.

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